On considère la fonction définie par f ( x ) = ln ( e x e x ) .

    1. Montrer que f est définie, continue, dérivable sur ] 0 , + [ .

    2. Déterminer sa limite en 0 et + et déterminer ses asymptotes ainsi que la position de la courbe représentative de f par rapport à celles ci.

    3. Déterminer le sens de variations de f et tracer sa courbe représentative.

  1. On considère à présent, pour n , l'équation d'inconnue x : ( E n )    f ( x ) = n

    1. Montrer que pour otu entier n , l'équation ( E n ) a une unique solution (on la notera x n ).

    2. Déterminer le sens de variation de la suite ( x n ) n .

    3. On suppose dans cette question que la suite est majorée (par une constante).

      En déterminant la limite de f ( x n ) , montrer que celà est absurde. En déduire la limite de la suite ( x n ) n .

  2. On étudie à présent le comportement asymptotique de la suite.

    1. Montrer que f ( x ) x tend vers 0 quand x tend vers l'infini.

      En déduire que x n n tend vers 0 quand n tend vers + .

    2. Montrer que f ( x ) x x + e 2 x

      En déduire que x n n n + e 2 n

  3. On calcule à présent la valeur de x n :

    1. Résoudre l'équation d'inconnue x : e 2 x e y e x 1 = 0

      En déduire que x n = ln ( 1 2 e n + 1 2 ( e 2 n + 4 ) )

    2. Retrouver le résultat du xn-n(difficile)