Corrigé par Pierre Veuillez

  1. Dérivabilité

    1. f est continue en tout x tel que x 0 (formule différente) et e x 1 0. Dénominateur

      Or e x 1 = 0 x = 0 car exp est strictement croissante sur . Donc f est continue sur * .

      Vérifions qu'en 0, f ( x ) f ( 0 ) : Comme e x 1 ~ x 0 x on a alors x e x 1 x 0 1 = f ( 0 ) et f est continue en 0. Donc f est contiue sur .

    2. f est dérivable en 0 si son taux d'accroissement a une limite finie: f ( x ) f ( 0 ) x 0 = x e x 1 1 x = x e x + 1 x ( e x 1 ) = x + 1 ( 1 + x + x 2 2 + x 2 ϵ ( x ) ) x ( x + x 2 2 + x 2 ϵ ( x ) ) = x 2 2 x 2 ϵ ( x ) x ( x + x 2 2 + x 2 ϵ ( x ) ) = x 2 ( 1 2 ϵ ( x ) ) x 2 ( 1 + x 2 + x ϵ ( x ) ) = 1 2 ϵ ( x ) 1 + x 2 + x ϵ ( x ) x 0 1 2 donc f est dérivable en 0 et f ( 0 ) = 1 / 2

  2. Etude des variations de f .

    1. g est dérivable sur et g ( x ) = e x e x x e x = x e x qui est du signe opposé à x . D'où les variations de g :

      x 0 +
      g ( x ) + 0
      g ( x ) 0
      et pour tout réel x non nul , g ( x ) < 0

    2. f est dérivabke sur et sur * , f ( x ) = e x 1 e x x ( e x 1 ) 2 = g ( x ) ( e x 1 ) 2 < 0 donc f est strictement décroissante sur .

    3. En + : f ( x ) = x e x 1 = x e x ( 1 1 / e x ) x + 0  car  x < < e x et l'axe des abscisses est asymptote.

      En : f ( x ) = x e x 1 1 +

      f ( x ) x = 1 e x 1 1  et  y = x  est direction asymptotique

      f ( x ) x = x e x 1 + x = x e x F I e x 1 mais en effectuant le changement de variable t = x + : x e x = t / e t 0 car e t > > t donc f ( x ) + x 0

      et on a une asymptote d'équation y = x en .

    4. voire ci-dessous

    1. f est continue et strictement décroissante sur donc bijective de sur f ( ) = ] 0 , [

    2. Voire ci-joint

    3. f 1 ( 1 ) = x f ( x ) = 1. Or f ( 0 ) = 1 donc f 1 ( 1 ) = 0. et la pente de la tangente est, comme f ( 0 ) 0 : f 1 ( 1 ) = 2

  3. Soit ( E n ) l'équation: ( E n ) : x e x 1 = n

    1. f est bijective de dans ] 0 , + [ . Et pour tout entier n > 0 , on a n ] 0 , + [ . Donc l'équation ( E n ) a une unique solution u n . On a donc f ( u n ) = n u n = f 1 ( n )

    2. u 1 est la solution de f ( x ) = 1 Donc u 1 = 0.

    3. On a apour tout entier n : f ( u n ) = n n + 1 = f ( u n + 1 ) . Et comme f est strictement décroissante sur , u n + 1 u n . Donc u est décroissante.

      Si elle est minorée alors u converge. Soit sa limite. f est continue sur donc en et f ( u n ) u n f ( )  mais  f ( u n ) = n u n +

      donc u n'est pas minorée. Donc u tend vers .

      Remarque: On pouvait aussi passer par u n = f 1 ( n ) est déduire de la lmitre de f 1 en + celle de u .

    4. f ( x ) x = 1 e x 1 x 1

      donc comme u n n = f ( u n ) u n u n et u n ~ n n .