Soit f définie sur par : f ( 0 ) = 1  et  f ( x ) = x e x 1  si  x 0

  1. Dérivabilité

    1. Montrer que f est continue sur

    2. Montrer que f est dérivable en 0 et que f ( 0 ) = 1 / 2

  2. Etude des variations de f .

    1. Soit g la fonction définie par g ( x ) = e x x e x 1

      Montrer que pour tout réel x non nul , g ( x ) < 0

    2. Déterminer le sens de variation de f sur .

    3. Etudier les branches infinies de f .

    4. Tracer la courbe représentative de f .

    1. Vérifier que f définit une bijection de sur un intervalle que l'on précisera. On note f 1 sa réciproque.

    2. Construire la courbe représentative de f 1 dans le même repère que celle de f .

    3. Préciser f 1 ( 1 ) et construire la tangente au point d'abscisse 1 de la courbe représentative de f 1 .

  3. Soit ( E n ) l'équation: ( E n ) : x e x 1 = n

    1. Montrer que pour tout entier n > 0 , l'équation ( E n ) a une unique solution que l'on, notera u n .

    2. Quelle est la valeur de u 1 ?

    3. Déterminer le sens de variations de u n . Montrer qu'elle n'est pas minorée et déterminer sa limite.

    4. Montrer que f ( x ) x x et en déduire un équivalent de u n .