Corrigé par Pierre Veuillez

Soit f définie par : f ( x ) = x . ln ( 1 + x ) pour x > 1 .

    1. f est dérivable sur [ 0 , + [ et f ( x ) = ln ( 1 + x ) + x 1 + x f est dérivable sur [ 0 , + [ et f " ( x ) = 1 1 + x + 1 + x x ( 1 + x ) 2 = 2 + x ( 1 + x ) 2

    2. x 0
      2 + x + affine
      ( 1 + x ) 2 2 ° degré
      f " ( x ) +
      f ( x )
      0 +

      f est donc strictement croissante sur [ 0 , + [ . Elle tend vers 0 en 0 et vers + en +

    3. Pour la courbe de f , il faut placer les tangentes en 0 : f ( 0 ) = 0 et en e 1 : f ( e 1 ) = 2 + 1 / e . Il faudra aussi ) étudier la branche infinie.( f ( x ) / x + et on a une branche parabolique verticale)

  1. On considère à présent pour n entier naturel non nul l'équation : f ( x ) = 1 / n 2

    1. f est dérivable et strictement croissante sur ] 0 , + [ donc bijective de [ 0 , + [ dans [ lim 0 f , lim + f [ = ] 0 , + [ .

      Or 1 / n 2 ] 0 , + [ donc l'équation f ( x ) = 1 / n 2 a une unique solution strictement positive.

    2. Or pour tout entier n , f ( α n + 1 ) = 1 / ( n + 1 ) 2 et f ( α n ) = 1 / n 2

      Comme 1 ( n + 1 ) 2 1 n 2 = 2 n + 1 ( n + 1 ) 2 n 2 < 0 alors f ( α n + 1 ) < f ( α n ) .

      Et comme f est strictement croissante sur [ 0 , + [ et que α n et α n + 1 en sont éléments, α n + 1 < α n + 1 donc la suite α est décroissante. Elle est minorée par 0 donc elle est convergente. Et sa limite 0

    3. Si > 0 alors f ( x ) x f ( ) car f est continue en 0. Donc f ( α n ) f ( ) > 0 (minimum de f ). Mais f ( α n ) = 1 / n 2 0. Contradiction.

      Donc n'est pas strictement positive. Et comme elle est positive ou nulle, = 0 et α tend vers 0.