Soit f définie sur [ 0 , + [ par : f ( x ) = x . ln ( 1 + x )

On considère la suite ( u n ) n définie par u 0 et n , u n + 1 = f ( u n ) .

    1. Calculer pour tout x [ 0 , + [ , f ( x ) et f ( x ) .

    2. En déduire que f est strictement croissante sur [ 0 , + [ .

    3. Tracer la courbe représentative de f

  1. On considère à présent pour n entier naturel non nul l'équation : f ( x ) = 1 / n 2

    1. Montrer que, pour tout entier n , l'équation ( E n ) a une unique solution strictment positive. On la notera α n .

    2. En comparant f ( α n + 1 ) et f ( α n ) , montrer que la suite α est décroissante et convergente.

    3. Montrer que la limite de la suite α ne peut pas être strictement positive. En déduire sa limite

  2. Montrer que f a une réciproque et déterminer sa limite en 0.

    1. En déduire la limite de α n quand n tend vers + .

    2. Montrer que f ( x ) x 0 x 2 .

En déduire que α n n + 1 / n