(ISC 1997)

Pour tout entier n non nul on considère la fonction f n définie sur + par f n ( x ) = k = 1 n k x k

  1. Pour tout n 1 , montrer que l'équation f n ( x ) = 1 admet une unique solution (positive) que l'on notera u n .

  2. En évaluant f n + 1 ( u n ) , montrez que la suite u est décroissante. Montrer que la suite u est convergente.

    1. Montrer que f n ( x ) = x 1 ( n + 1 ) x n + n x n + 1 ( 1 x ) 2

    2. Calculer u 2 . En déduire les limites de ( u n ) n et de n ( u n ) n quand n tend vers + .

    3. Déterminer la limite de la suite u .

(ISC 1997)