Corrigé EDHEC 2000 par Pierre Veuillez

    1. On a: f n ( 0 ) = 4 et f n + en + ; f n est dérivable sur + et f n ( x ) = n x n 1 + 9 x = x ( n x n 1 + 9 ) > 0 .

      f n est donc bijective de + dans [ 4 , + [ . Comme 0 [ 4 , + [ , l'équation f n ( x ) = 0 a donc une unique solution dans + . On a donc u n 0 et f n ( u n ) = 0 .

    2. Pour calculer u 1 et u 2 , il faut résoudre f 1 ( x ) = 0 et f 2 ( x ) = 0 :

      f 1 ( x ) = x + 9 x 2 4 polynôme du second dégré de déterminant: Δ = 1 + 4.4 .9 = 145 donc u 1 = 1 + 145 18 .qui est la racine positive de cette équation.

      f 2 ( x ) = x 2 + 9 x 2 4 = 10 x 2 4 = 10 ( x 2 / 5 ) ( x + 2 / 5 ) donc u 2 = 2 / 5 .

    3. On a f n ( 2 / 3 ) = ( 2 / 3 ) n + 9 ( 2 / 3 ) 2 4 = ( 2 / 3 ) n > 0 et f n ( 0 ) = 4

      Donc f n ( 0 ) < f n ( u n ) < f n ( 2 / 3 ) et comme f n est strictement croissante sur + et qu'ils ens osnt éléments, on a 0 u n 2 3 .

      et donc

      n * , u n ] 0 , 2 3 [ .

    1. Soit x ] 0 , 1 [ , on a: f n + 1 ( x ) f n ( x ) = x n + 1 x n = x n ( x 1 ) et comme x < 1 et x n > 0 on a bien f n + 1 ( x ) < f n ( x ) .

    2. Donc, comme u n ] 0 , 2 3 [ , ona u n ] 0 , 1 [ et f n + 1 ( u n + 1 ) = 0 < f n ( u n + 1 ) .

      Donc f n ( u n + 1 ) > 0 = f n ( u n ) et comme f n est strictement croissante sur + et que u n et u n + 1 en sont éléments, on a alors u n + 1 > u n pour tout entier n et la suite u est croissante.

    3. u est croissante et majorée par 2 3 donc elle est convergente vers avec 0 2 3 .

    1. Comme 0 u n 2 / 3 et que la fonction puissance n est strictement coirssante pour n > 0 sur + (sur celà dépendrait de la parité de n ) alors 0 n ( u n ) n ( 2 / 3 ) n et comme | 2 / 3 | < 1 on a ( 2 / 3 ) n 0 donc par encadrement u n 0

    2. Or u n n + 9 u n 2 4 = 0 alor spar passage à la limite,

      Donc 9 2 4 = 0 et = 2 3 car 0. Conclusion:

      u n n + = 2 3

  1. On cherche un équivalent de 2 3 u n que l'on voit dans 9 ( u n ) 2 4 = 9 ( u n 2 3 ) ( u n + 2 3 ) = ( u n ) n

    Donc 0 2 3 u n = ( u n ) n 9 ( u n + 2 3 ) 1 9 2 3 ( 2 3 ) n 0

    et comme la série n 1 6 ( 2 3 ) n converge, par majoration de séries à termes positifs 2 3 u n converge également.

    (attention : on n'a pas ici ( u n 3 2 ) n 1 : c'est une forme indéterminée qu'il faut lever en repassant en exp )