EDHEC 2000


Pour tout entier n sup\erieur ou \egal \a 1 , on d\efinit la fonction f n par : x + ,      f n ( x ) = x n + 9 x 2 4.

    1. Montrer que l'équation f n ( x ) = 0 n'a qu'une seule solution strictement positive, notée u n .

    2. Calculer u 1 et u 2 .

    3. Vérifier que : n * , u n ] 0 , 2 3 [ .

    1. Montrer que, pour tout x élément de ] 0 , 1 [ , on a : f n + 1 ( x ) < f n ( x ) .

    2. En déduire le signe de f n ( u n + 1 ) , puis les variations de la suite ( u n ) .

    3. Montrer que la suite ( u n ) est convergente. On note sa limite.

    1. Déterminer la limite de ( u n ) n lorsque n tend vers + .

    2. Donner enfin la valeur de .

  1. Montrer que la série de terme général 2 3 u n est convergente.