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EDHEC 1997

Pour tout entier naturel n non nul, on note f n la fonction définie par: x + * , f n ( x ) = x n . ln ( x ) .

    1. f n est dérivable sur + * et f n ( x ) = 1 n x = x n x

      En + on a f n ( x ) = x ( 1 n ln ( x ) / x ) + car ln ( x ) x

      En 0 : x n . ln ( x ) + car n > 0

      x 0 n +
      x n 0 + affine
      f n ( x ) 0 +
      f n ( x ) + +
      n n ln ( n )

    2. Pour n 3 , on applique alors le théoèeme de bijection sur ] 0 , n [ (on pourrait aussi le faire dès à présent sur [ 1 , e ] pour la question suivante )

      On détermine pour celà le signe de n n ln ( n ) = n ( 1 ln ( n ) ) et comme n 3 > e on a ln ( n ) > 1 donc n n ln ( n ) < 0

      f n est continue et strictement décroissante sur ] 0 , n [ donc bijective de ] 0 , n [ dans ] lim n f n , lim 0 f n [ = ] n n ln ( n ) , + [

      Et comme n n ln ( n ) < 0 alors 0 ] n n ln ( n ) , + [

      Donc l'équation f n ( x ) = 0 a une unique solution sur l'intervalle ] 0 , n [ : u n .

      On a donc f n ( u n ) = 0 = u n n ln ( u n ) et 0 < u n < n

      De même il y a une unique solution v n sur l'intervalle ] n , + [ donc n < v n

      (il n'y a pas d'autres solutions sur + * car f n ( n ) = n n ln ( n ) 0

  1. Etude de la suite ( u n ) n 3 .

    1. On compare les images pour pouvoir comparer les termes. On les calcule d'abord :

      f n ( 1 ) = 1 n ln ( 1 ) = 1

      f n ( u n ) = 0

      f n ( e ) = e n ln ( e ) = e n < 0 car n 3 > e

      On a donc f n ( 1 ) > f n ( u n ) > f n ( e )

      et comme f n est strictement décroissante sur ] 0 , n ] et que 1 , u n et e en sont éléments (car e < n ) alors

      Conclusion :

      n 3 : 1 < u n < e

    2. f n ( u n + 1 ) = u n + 1 n ln ( u n + 1 )

      On connait f n + 1 ( u n + 1 ) = u n + 1 ( n + 1 ) ln ( u n + 1 ) = u n + 1 n ln ( u n + 1 ) ln ( u n + 1 ) = 0

      Donc f n ( u n + 1 ) = ln ( u n + 1 )

      Pour avoir u n u n + 1 on compare les images par f n :

      f n ( u n ) = 0

      f n ( u n + 1 ) = ln ( u n + 1 ) 0 car u n + 1 1

      Donc f n ( u n ) f n ( u n + 1 ) et comme f n est strictement décroissante sur ] 0 , n ] et que u n et u n + 1 en sont éléments ( car u n + 1 < e < n ) alors :

      Conclusion :

      n 3 : u n u n + 1 et la suite est décroissante

    3. La suite u est donc décroissante et minorée par 1 donc convergente vars 1

      ATTENTION : on ne connait pas la valeur de cette limite, on ne peut pas encore conclure que = 1

      Pour encadre ln ( u n ) on peut partir de 1 < u n < e d'où 0 < ln ( u n ) < 1 \dots celà n'est pas suffisant pour avoir un encadrement plus précis de la limite.

      Il faut chercher ln ( u n ) ailleurs : f n ( u n ) = 0 = u n n ln ( u n ) donc ln ( u n ) = u n / n et donc en divisant l'inégalité précédente par n > 0 : 1 n < ln ( u n ) = u n n < e n

      Donc par encadrement ln ( u n ) 0 et u n = exp ( ln ( u n ) ) e 0 = 1 (car exp est continue sur )

    4. Comme u n 1 , on se ramène là où l'on dispose d'outils en posant x = u n 1 0 on a ln ( u n ) = ln ( 1 + x ) x quand x 0 donc ln ( u n ) u n 1 et donc lim n + ln ( u n ) u n 1 = 1

      On calcule la lmite du quotient de u n 1 et 1 n en faisant apparaître le qutient précédent :

      u n 1 1 / n = n ( u n 1 ) = u n 1 ln ( u n ) n ln ( u n ) et comme u n n ln ( u n ) = 0 on a n ln ( u n ) = u n 1 donc u n 1 1 / n 1 Conclusion :

      u n 1 1 n

  2. Etude de la suite ( v n ) n 3

    1. Comme n < v n , par minorationon a v n +

    2. f n ( n . ln ( n ) ) = n ln ( n ) n ln ( n ln ( n ) ) et comme n et ln ( n ) > 0 alors

      f n ( n . ln ( n ) ) = n ln ( n ) n [ ln ( n ) + ln ( ln ( n ) ) ] = n ln ( ln ( n ) )

      et comme n > e alors ln ( n ) > 1 et ln ( ln ( n ) ) > 0 (car ln strictement croissante sur + * )

      On a donc f n ( n ln ( n ) ) < 0 = f n ( v n )

      Comme f n est strictement croissante sur [ n , + [ et que n ln ( n ) et v n en sont éléments (comme ln ( n ) 1 , n ln ( n ) n ) alors

      n 3 , n . ln ( n ) < v n .

    3. Soit g la fonction définie par: x * , g ( x ) = x 2 ln ( x ) .

      g est dérivable sur + * et g ( x ) = 1 2 x = x 2 x Donc

      x 0 2 +
      x 2 0 +
      g ( x ) 0 +
      g ( x ) 2 2 ln ( 2 )
      et comme 2 2 ln ( 2 ) = 2 ( 1 ln ( 2 ) ) > 0 car 2 < e donc ln ( 2 ) < 1 alors pour tout x + * on a g ( x ) > 0. Donc n * : g ( n ) > 0 et n > 2 ln ( n ) .

    4. On a alors : f n ( 2 n . ln ( n ) ) = 2 n . ln ( n ) n ln ( 2 n . ln ( n ) ) = n [ 2 ln ( n ) ln ( n ) ln ( 2 ) ln ( ln ( n ) ) ] = n [ ln ( n ) ln ( 2 ln ( n ) ) ] et comme n > 2 ln ( n ) et que ln est strictement croissante sur + * et qu'ils en sont éléments, alors ln ( n ) > ln ( 2 ln ( n ) ) et f n ( 2 n . ln ( n ) ) > 0

      Donc f n ( n ln ( n ) ) < f n ( v n ) < f n ( 2 n . ln ( n ) ) et comme n ln ( n ) n ainsi que v n et 2 n ln ( n ) et que f n est strictement croissante sur [ n , + [ on a

      Conclusion :

      n ln ( n ) < v n < 2 n . ln ( n )

    5. On a alors ln ( n ln ( n ) ) < ln ( v n ) < ln ( 2 n . ln ( n ) )
      donc ln ( n ) + ln ( ln ( n ) ) < ln ( v n ) < ln ( n ) + ln ( 2 ) + ln ( ln ( n ) )
      et en divisant par ln ( n ) > 0 pour faire apparaître le quotient : 1 + ln ( ln ( n ) ) ln ( n ) < ln ( v n ) ln ( n ) < 1 + ln ( 2 ) ln ( n ) + ln ( ln ( n ) ) ln ( n ) on a en + : ln ( x ) x donc en substituant ln ( n ) = x + : ln ( ln ( n ) ) ln ( n ) , le majorant et le minorant tendent vers 1.

      Donc par encadrement, ln ( v n ) / ln ( n ) 1 et

      Conclusion :

      ln ( v n ) ln ( n )

EDHEC 1997