EDHEC 1997

Pour tout entier naturel n non nul, on note f n la fonction définie par: x + * , f n ( x ) = x n . ln ( x ) .

    1. Etudier cette fonction et dresser son tableau de variations.

    2. En déduire, lorsque n est supérieur ou égal à 3 , l'existence de deux réels u n et v n solutions de l'équation f n ( x ) = 0 et vérifiants 0 < u n < n < v n .

  1. Etude de la suite ( u n ) n 3 .

    1. Montrer que n 3 , 1 < u n < e .

    2. Montrer que f n ( u n + 1 ) = ln ( u n + 1 ) , puis en conclure que ( u n ) est décroissante.

    3. En déduire que ( u n ) n 3 converge et montrer, en encadrant ln ( u n ) , que lim n + u n = 1 .

    4. Montrer que lim n + ln ( u n ) u n 1 = 1 ; en déduire que u n 1 1 n .

  2. Etude de la suite ( v n ) n 3

    1. Calculer lim n + v n .

    2. Calculer f n ( n . ln ( n ) ) puis montrer que n 3 , n . ln ( n ) < v n .

    3. Soit g la fonction définie par: x * , g ( x ) = x 2 ln ( x ) .

      Etudier g et donner son signe. En déduire que n * , n > 2 ln ( n ) .

    4. En déduire le signe de f n ( 2 n . ln ( n ) ) , puis établir que : n ln ( n ) < v n < 2 n . ln ( n )

    5. Montrer enfin que: ln ( v n ) ln ( n )

(EDHEC 97)