(ESSEC 1995)

On désigne par n un entier naturel non nul et l'on se propose d'étudier les racines positives de l'équation e x = x n que l'on note ( E n ) . A cet effet on introduit la fonction f n définie par f n ( x ) = 1 x n e x .

  1. Etude des racines positives des équations ( E 1 ) et ( E 2 )

    1. Etudier et représenter sur [ 0 , + [ les fonctions f 1 et f 2

    2. Etudier l'existence de racines positives pour les équations ( E 1 ) et ( E 2 ) .

      On rapelle que 2 < e < 3

  2. Etude des racines positives de l'équations ( E 3 )

    1. Etudier et représenter sur [ 0 , + [ la fonction f 3 . On donne les valeurs approchées : e 2 7 , 4 ; e 3 20 , 1 ; e 4 54 , 6 ; e 5 148 , 4

      En déduire que l'équation ( E 3 ) admet deux racines positives u et v telles que 1 < u < v , et encadrer chacunes d'elles par deux entiers consécutifs.

    2. Soit la suite définie par la relation y n + 1 = 3 ln ( y n ) et la condition initiale y 0 , y 0 est un nombre réel strictement supérieur à u .

      • Montrer que si u < y 0 v , alors pour tout entier naturel n , u < y n v .

      • Montrer que si v y 0 , alors pour tout entier naturel n , v y n .

      • Etudier le signe de y n + 1 y n en fonction du signe de y n y n 1

      En déduire selon la position de y 0 par raport à v , le sens de variation de la suite ( y n ) .

      Etudier enfin la convergence et la limite de la suite ( y n )

    3. On choisit désormais y 0 = 4

      Ecrire en PASCAL un algorithme permettant le calcul de y n pour un entier n donné.

      Etablir pour tout entier naturel n que 0 v y n + 1 0 , 75 ( v y n )

      puis que 0 v y n ( 0 , 75 ) n

      Comment suffit-il de choisir n pour que y n constitue une valeur approchée de v à 10 5 près?

      Ecrire en PASCAL un algorithme permettant le calcul d'une valeur approchée de v à 10 5 près.

  3. Etude des racines positives de l'équation ( E n ) pour n 3 .

    1. Etudier sur [ 0 , + [ la fonction f n . En déduire que l'équation ( E n ) admet deux racines positives u n et v n telles que 1 < u n < v n .

    2. Déterminer pour n 4 , le signe de f n ( u n 1 ) . Déduire des variations de la fonction f n , le sens de variation de la suite ( u n ) puis prouver la convergence de celle-ci.

    3. Montrer que u n = exp ( u n / n ) , et en déduire la limite L de la suite ( u n ) , puis un équivalent simple de u n L quand n tend vers + .

    4. Déterminer, pour n 4 le signe de f n 1 ( v n ) . Déduire des variations de la fonction f n , le sens de variation de la suite ( v n ) , puis étudier la limite de celle-ci.

    5. On pose pour tout réel x > 1 : g ( x ) = x ln ( x ) . Montrer (à l'aide d'un théorème dont on rapellera l'énnoncé) que g réalise une bijection de ] 1 , + [ sur ] 1 , + [ .

      Etablir que g ( v n / n ) = ln ( n ) , montrer à l'aide de g 1 (bijection réciproque de g )que v tend vers + , puis en déduire un équivalent de v n quand n tend vers +

(ESSEC 1995)