E.S.C.Paris 1999

Pour tout entier k supérieur ou égal à 2, soit f k la fonction définie sur ] 0 , + [ par :

f k ( x ) = ln k ( x ) x 1  si  x > 0  et  x 1  et  f k ( 1 ) = 0

  1. Etude des fonctions f k .

    1. Soit k un entier supérieur ou égal à 2.

      Justifier la dérivabilité de la fonction f k sur ] 0 , 1 [ ] 1 , + [ et préciser la valeur de la dérivée f k ( x ) , pour tout x appartenant à ] 0 , 1 [ ] 1 , + [ .

      Montrer que f k est dérivable en 1 et donner, selon les valeurs de k , la valeur de f k ( 1 )

    2. On considère les fonctions auxiliaires ϕ k définies, pour tout x > 0 , par ϕ k ( x ) = k ( x 1 ) x l n ( x ) . Etudier, pour tout entier k supérieur ou égal à 2, les variations de la fonction ϕ k . Montrer que l'équation ϕ k ( x ) = 0 admet une racine unique dans l'intervalle ] 1 , + [ . Dans la suite, on notera a k cette racine.

    3. En distinguant les cas k = 2 , k pair supérieur ou égal à 4, k impair supérieur ou égal à 3, donner le tableau de variation de la fonction f k (on précisera les limites aux bornes).

  2. Etude asymptotique de la suite ( a k ) k 2 .

    1. Montrer que, pour tout entier k supérieur ou égal à 2, e k 1 a k e k

    2. Pour tout entier k supérieur ou égal à 2, on pose a k = e k ( 1 + δ k ) . Montrer que le réel δ k vérifie l'équation k e k = ( 1 + δ k ) ln ( 1 + δ k ) Justifier l'inégalité : | ln ( 1 + δ k ) | k e 1 k . En déduire que la suite ( δ k ) k 2 a une limite nulle et, plus précisément, que δ k est équivalent à k e k quand k tend vers l'infini.

    3. Justifier, en conclusion, la relation a k = e k k + o ( k )   quand   k +

  3. Calcul approché des nombres a k .

    Ecrire un programme en Turbo-Pascal donnant une valeur approchée à moins de 10 4 près du nombre a 4 .

(ESCP 1999)