Corrigé ESSEC 2002 par Pierre Veuillez

  1. Etude de l'équation x N + x N 1 + \dots + x 2 + x a = 0

    On note f N la fonction polynôme définie par f N ( x ) = x N + x N 1 + \dots + x 2 + x a .

    1. On étudie les variations de f N sur + : f est dérivable sur + et f ( x ) = N x N 1 + \dots + 1 > 0 donc

      comme f N ( 0 ) = a < 0 ( a est un réel strictement positif) et f N + en + , et que 0 [ a , + [ par bijection l'équation f N ( x ) = 0 aura une unique soution sur +

      Si N > a alors f ( 1 ) = N a > 0 et d'après les variations de f , comme f N ( x N ) = 0 < f ( 1 ) on aura x N < 1

    2. Montrer la relation ( * ) : ( x 1 ) f N ( x ) peut se dévelppper en \dots ou s'écrire avec des un que l'on développe puis réindexe.

      ( x 1 ) f N ( x ) = x N + 1 ( a + 1 ) x + a

  2. Racine positive de l'équation x N + x N 1 + \dots + x 2 + x a = 0

    1. On calcule f N + 1 ( x n ) = f N + 1 ( x N ) = x N N + 1 + x N N + \dots + x N 2 + x N a = f N ( x N ) + x N N + 1

      Et comme x N N + 1 > 0 on a bien f N + 1 ( x N ) > f N ( X N )

      Pour montrer que la suite ( x N ) est strictement décroissante, on compare x N et x N + 1 \dots que l'on ne connait que par leurs images.

      Comme f N ( X N ) = 0 = f N + 1 ( X N + 1 ) l'inégalité précédente donne f N + 1 ( x N ) > f N + 1 ( x N + 1 ) et comme f N + 1 est strictement croisanet sur + et que les termes en sont éléments, x N > x N + 1 , et la suite converge. Soit x * sa limite.

      Comme x N > 0 pour tout entier n , on a par passage à la limite x * 0

      Comme pour tout N > a on a x N < 1 , par passage à la limite x * 1 ce qui n'est pas suffisant \dots

      Il faut d'abord écarter x N de 1 : soit A un entier A > a alors pout tout N > A on aura x N < x A (suite décroissante) et par passage à la limite x * x A < 1 C.Q.F.D.

      Donc la suite ( x N ) converge vers un nombre x * appartenant à [ 0 , 1 [

    2. Comme la suite est décroisante , si N A alors 0 < x N x A , et comme la fonction puissance N i e ` m e est croisante sur + et que x A et x N en sont éléments, 0 < ( x N ) N ( x A ) N

      Soit A a , on a alors 0 < x A < 1 donc ( x A ) N 0 quand N tend vers N + ( x A est une constante)

      Donc par encadrement x N N 0

      Comme ( x 1 ) f N ( x ) = x N + 1 ( a + 1 ) x + a on a en particulier ( x N 1 ) f N ( x N ) = x N N + 1 ( a + 1 ) x N + a = 0 et par passage à la limite dans cette égalité : 0 ( a + 1 ) x * + a = 0 soit x * = a / ( a + 1 ) (car a > 0 donc a + 1 0 )

      Comme x *

      0 on a alors x N / x * 1 donc x N x * d'où l'écriture x N = a a + 1 ( 1 + ϵ N ) , et ϵ N tend vers 0 lorsque N tend vers +

    3. On reprend x N N + 1 ( a + 1 ) x N + a = 0 et x N = a a + 1 ( 1 + ϵ N )

      On a donc 0 = [ a a + 1 ( 1 + ϵ N ) ] N + 1 a ( 1 + ϵ N ) + a = [ a a + 1 ( 1 + ϵ N ) ] N + 1 a ϵ N   donc a ϵ N = [ a a + 1 ( 1 + ϵ N ) ] N + 1

      Comme tout est strictement positif ( ϵ N > 0 car x N > x * ) ln ( a ϵ N ) = ( N + 1 ) ln ( a a + 1 ( 1 + ϵ N ) ) donc ln ( a ) + ln ( ϵ N ) = ( N + 1 ) [ ln ( a a + 1 ) + ln ( 1 + ϵ N ) ]

      et en multipliant de part et d'autre par ϵ N : ( N + 1 ) ϵ N [ ln ( a a + 1 ) + ln ( 1 + ϵ N ) ] = ϵ N ln ( ϵ N ) + ϵ N ln ( a )

      Comme x ln ( x ) 0 quand x 0 , le second membre tend vers 0.

      Comme a a + 1 on a ln ( a a + 1 ) 0 et [ ] ln ( a a + 1 ) 0 d'où ( N + 1 ) ϵ N 0

      On a ( 1 + ϵ N ) N + 1 = e p x ( ( N + 1 ) ln ( 1 + ϵ N ) )

      Or ln ( 1 + ϵ N ) ϵ N donc ( N + 1 ) ln ( 1 + ϵ N ) ( N + 1 ) ϵ N 0 et ( N + 1 ) ln ( 1 + ϵ N ) 0.

      Finalement ( 1 + ϵ N ) N + 1 1

      La relation ( * ) donne 0 = [ a a + 1 ( 1 + ϵ N ) ] N + 1 a ϵ N = ( a a + 1 ) N + 1 ( 1 + ϵ N ) N + 1 a ϵ N ϵ N = 1 a ( a a + 1 ) N + 1 ( 1 + ϵ N ) N + 1 1 a ( a a + 1 ) N + 1 car ( 1 + ϵ N ) N + 1 1

    On considère un investissement qui nécessite l'apport initial d'une somme S 0 > 0 l'année 0 , puis qui rapporte ensuite la même somme S > 0

    pendant chacunes des N années suivantes, c'est à dire pendant les années 1 , 2 , \dots , N .

    Lorsque le taux d'intérêt des placements est supposé constant au cours du temps et égal à r > 0 , on sait que le placement d'une somme s à l'issue de l'année 0 conduit à une somme s 1 = ( 1 + r ) s à l'issue de l'année 1 , \dots , à une somme s n = ( 1 + r ) n s à l'issue de l'année n , \dots

    Dans ce contexte, on obtiendra une somme S n àl'issue de l'année n si et seulement si on obtient une somme S n / ( 1 + r ) n à l'issue de l'année 0 (puisque le placement d'une telle somme S n / ( 1 + r ) n conduit précisément à l'obtention de la somme S n à l'issue des n années de placement). Aussi appellera-t-on dans ce contexte valeur présente de la somme S n la somme S n / ( 1 + r ) n .

  3. Taux d'intérêt permettant la réalisation de l'investissement

    1. Ce que ne dit pas l'énnoncé est que les sommes rapportées par l'investissement sont placé au taux d'intérêt précité.

      On calcule la valeur future à l'issue de N années. Les dividendes du placement produisant des intérêts on aura :

      le dividende S de l'année 1 produit S ( 1 + r ) N 1 (en N 1 années de placement ) à l'issue de l'année N

      le dividende S de l'année 2 produit S ( 1 + r ) N 2 (en N 2 années de placement ), \dots

      Le dividende S de l'année N ne produit pas d'intérêt.

      On aura donc au final S ( 1 + r ) N 1 + S ( 1 + r ) N 2 + \dots + S soit une valeur présente (en divisant par ( 1 + r ) n ) de S ( 1 + r ) N + S ( 1 + r ) N 1 + \dots + S ( 1 + r ) + S ( 1 + r ) 2 + \dots + S ( 1 + r ) N

      et compte tenu de l'invesstissement initial, la valeur présente (à la fin de l'année 0 ) de l'investissement décrit ci-dessus est égale : V P ( r ) = S ( 1 + r ) N + S ( 1 + r ) N 1 + \dots + S ( 1 + r ) 2 + S ( 1 + r ) S 0

      L'investissement précédent est alors réalisé si et seulement si l'inégalité V P ( r ) 0 est vérifiée, c'est çà dire s'il est financièrement plus intéressant de réaliser l'investissement projeté que de placer la somme S 0 au taux d'intérêt des placements comme on l'a décrit plus haut.

    2. L'équation V P ( r ) = 0 s'écrit f N ( 1 1 + r ) = 0 avec N > a = S 0 / S

      Or l'équation f N ( x ) = 0 a une unique solution x N ] 0 , 1 [ donc f N ( 1 1 + r ) x N = 1 1 + r r = 1 x N 1 > 0

      L'équation a donc pour unique solution r N = 1 x N 1

      L'investisement est réalisé si et seulement si V P ( r ) > 0 = V P ( r N ) et comme la fonction V P est strictement décroissante (composée de r 1 / ( 1 + r ) décroissante sur + à valeurs dans + et de S f N strictement croissante) on a alors : V P ( r ) > 0 r < r N

      (et à condition que N > S / S 0 donc que le placement se fasse sur plus de S / S 0 années; sinon, on ne peut pas conclure car on ne sait pas alors si x N ] 0 , 1 [ )

      Remarque : le fait que la valeur présente de l'investissement soit décroissante rend le placement d'autant plus intéressant que le taux d'intérêt est plus faible)

    3. La suite x N est décroissante et strictement positive donc r N = 1 x N 1 est croissante (plus on place longtemps, plus l'invesstissement plus forts sont les taux d'intéret supportables)

      Quand N + on a x N x * = a a + 1 donc r N a + 1 a 1 = a a + 1 = S 0 / S S 0 / S + 1 = S 0 S + S 0 = r *

      On a r * r N = 1 x * 1 1 x N + 1 = x N x * x * x N

      Avec x N x * = a a + 1 ϵ N a a + 1 1 a ( a a + 1 ) N + 1 = 1 a + 1 ( a a + 1 ) N + 1 x N a a + 1  donc  x N a a + 1

      finalement r * r N 1 a + 1 ( a a + 1 ) ( a a + 1 ) N + 1 ( a + 1 a ) 2 1 a ( a a + 1 ) N = S S 0 ( S 0 S + S 0 ) N

Partie III

Cette partie fait refaire exactement le même travail avec de petites complications supplémentaires. Elle n'est là que poyur empècher quiconque de finir le devoir en heures.

  1. Etude de l'équation N x N + ( N 1 ) x N 1 + \dots + 2 x 2 + x a = 0

    On note g N la fonction plynôme définie par : g N ( x ) = N x N + ( N 1 ) x N 1 + \dots + 2 x 2 + x a .

    1. Comme précédemment : g N > 0 sur + , g N ( 0 ) a < 0 et lim + g N = + donc pa rbijection l'équation g N ( x ) = 0 possède une racine strictement positive y N et une seule,

      Comme g N ( 1 ) = 1 + 2 + \dots + N = N ( N + 1 ) / 2 , si N ( N + 1 ) > 2 a alors g N ( 1 ) > 0 et comme g N strictement croissante on a alors y N ] 0 , 1 [

    2. La somme n'est plus ici usuelle : on peut procéder par récurrence ou bien

      on développe et on réindexe : ( x 1 ) 2 g N ( x ) = ( x 1 ) 2 k = 1 N k x k a ( x 1 ) 2 = k = 1 N k x k + 2 2 k = 1 N k x k + 1 + k = 1 N k x k a ( x 1 ) 2 = k = 3 N + 2 ( k 2 ) x k 2 k = 2 N + 1 ( k 1 ) x k + k = 1 N k x k a ( x 1 ) 2 = 2 k = 3 N + 2 x k + k = 3 N + 2 k x k 2 k = 2 N + 1 k x k + 2 k = 2 N + 1 x k + k = 1 N k x k a ( x 1 ) 2

      tous les termes communs ( de k = 3 à N ) aux sommes se simplifient et il reste : ( x 1 ) 2 g N ( x ) = 2 x N + 2 + ( N + 2 ) x N + 2 + ( N + 1 ) x N + 1 2 ( 2 x 2 + ( N + 1 ) x N + 1 ) + 2 x 2 + 1 x 1 + 2 x 2 a ( x 1 ) 2 = N x N + 2 ( N + 1 ) x N + 1 + x a ( x 1 ) 2

      On calcule Montrer la relation ( ** ) : ( x 1 ) 2 g N ( x ) = N x N + 2 ( N + 1 ) x N + 1 + x a ( x 1 ) 2

  2. Racine positive de l'équation N x N + ( N 1 ) x N 1 + \dots + 2 x 2 + x a = 0

    1. Comme précédemment g N + 1 ( y N ) g N ( y N ) = ( N + 1 ) y N N + 1 > 0 donc g N + 1 ( y N ) > g N ( Y N )

      Comme g N ( Y N ) = 0 = g N + 1 ( Y N + 1 ) on a alors g N + 1 ( y N ) > g N + 1 ( Y N + 1 ) et comme g N est strictement croissante sur + et que les termes en sont éléments y N > y N + 1 donc la suite ( y N ) est strictement décroissante.

      Mêmes arguments que précédemment pour la convergence vers un nombre réel y * apparteneant à [ 0 , 1 [ .

    2. Pour N A comme la suite y N est décroissante, et que la fonction puissance N est croissante sur + on a comme précédemment 0 < N y N N N y A N .

      Et pour A tel que A ( A + 1 ) > 2 a on a 0 < y A < 1 et N y A N 0 (car α N < < 1 / N si | α | < 1 )

      Et par encadrement N y N N 0 et y N N 0 également.

      Donc ( ** ) , en y N donne 0 = N y N N + 2 ( N + 1 ) y N N + 1 + y N a ( y N 1 ) 2 et par passage à la limite 0 = y * a ( y * 1 ) 2

      que l'on résout : a y 2 ( 2 a + 1 ) y + a = 0 , équation du second degré qui a pour discriminant : Δ = ( 2 a + 1 ) 2 4 a 2 = 4 a + 1 > 0

      et pour racines y * = 1 2 a ( 2 a + 1 4 a + 1 ) ou 1 2 a ( 2 a + 1 + 4 a + 1 )

      Il ne faut garder que celle qui est dans l'intervalle [ 0 , 1 [

      (le produit de racines est a / a = 1 donc elles sont toutes deux de même signe, mais si l'une est supérieure alors l'autre inférieure à 1)

      Comme 2 a + 1 4 a + 1 < 2 a + 1 + 4 a + 1 c'est la première qui se trouve dans cet intervalle et y * = 1 2 a ( 2 a + 1 4 a + 1 )

    On modifie les hypothèses précédentes et on suppose désormais que l'investissement considéré, qui nécessite toujours l'apport initial d'une somme S 0 l'année 0, rapporte de plus en plus pendant chacune des N années suivantes, comme suit : une somme S l'année 1, une somme 2 S l'année 2, une somme 3 S l'année 3, \dots , une somme N S l'année N .

  3. Taux d'intérêt permettant la réalisation de l'investissement

    1. Comme précédemment V P ( r ) = N S ( 1 + r ) N + ( N 1 ) S ( 1 + r ) N 1 + \dots + 2 S ( 1 + r ) 2 + S ( 1 + r ) S 0



      L'investissement précédent est alors réalisé si et seulement si l'inégalité V P ( r ) 0 est vérifiée.

    2. Comme précédemment V P ( r ) = 0 g N ( 1 1 + r ) = 0 avec a = S 0 / S possède une racine strictement positive r N et une seule lorsque N ( N + 1 ) > 2 S 0 / S , et r N = 1 y N 1 et pou rles mêmes raisons de sens de variation l'investissement décrit est réalisé si et seulement si r r N .

    3. Comme précédemment la suite y est décroissante et positive donc la suite r est croissante et par passage à la limite

      r * = 1 y * 1 = 2 a 2 a + 1 4 a + 1 1 = 4 a + 1 1 2 a + 1 4 a + 1

      avec a = S 0 / S \dots on peut prolonger le plaisir en multipliant par la quantité conjuguée : r * = ( 4 a + 1 1 ) ( 2 a + 1 4 a + 1 ) ( 2 a + 1 4 a + 1 ) ( 2 a + 1 + 4 a + 1 ) = 6 a + 2 ( a + 1 ) 4 a + 1 4 a 2 Sauf erreurs de ma part ...