ESSEC 2002

  1. Etude de l'équation x N + x N 1 + \dots + x 2 + x a = 0

    On note f N la fonction polynôme définie par f N ( x ) = x N + x N 1 + \dots + x 2 + x a .

    1. Montrer que l'équation f N ( x ) = 0 possède une racine strictement positive x N et une seule, puis montrer que celle-ci appartient à ] 0 , 1 [ lorsque N > a

    2. Montrer la relation ( * ) : ( x 1 ) f N ( x ) = x N + 1 ( a + 1 ) x + a

  2. Racine positive de l'équation x N + x N 1 + \dots + x 2 + x a = 0

    1. Montrer que f N + 1 ( x N ) > f N ( x N ) et en déduire que la suite ( x N ) est strictement décroissante.

      En déduire que la suite ( x N ) converge vers un nombre x * appartenant à [ 0 , 1 [

    2. Montrer que 0 < x N x A , puis que 0 < ( x N ) N ( x A ) N lorsque N A A est un entier naturel non nul.

      En choisissant A a , en déduire la limite de la suite ( x N N ) lorsque N tend vers + , puis, à l'aide de la relation ( * ) , exprimer la limite x * en fonction de a .



      On convient alors de poser x N = a a + 1 ( 1 + ϵ N ) , et ϵ N tend vers 0 lorsque N tend vers +

    3. Etablir à l'aide de la relation ( * ) l'égalité suivante : ( N + 1 ) ϵ N [ ln ( a a + 1 ) + ln ( 1 + ϵ N ) ] = ϵ N ln ( ϵ N ) + ϵ N ln ( a )

      En déduire les limites de ( N + 1 ) ϵ N et de ( 1 + ϵ N ) N + 1 lorsque N tend vers + , puis déterminer à l'aide de la relation ( * ) un équivalent de ϵ N en fonction de a et de N .

    On considère un investissement qui nécessite l'apport initial d'une somme S 0 > 0 l'année 0 , puis qui rapporte ensuite la même somme S > 0

    pendant chacunse des N années suivantes, c'est à dire pendant les années 1 , 2 , \dots , N .

    Lorsque le taux d'intérêt des placements est supposé constant au cours du temps et égal à r > 0 , on sait que le placement d'une somme s à l'issue de l'année 0 conduit à une somme s 1 = ( 1 + r ) s à l'issue de l'année 1 , \dots , à une somme s n = ( 1 + r ) n s à l'issue de l'année n , \dots

    Dans ce contexte, on obtiendra une somme S n àl'issue de l'année n si et seulement si on obtient une somme S n / ( 1 + r ) n à l'issue de l'année 0 (puisque le placement d'une telle somme S n / ( 1 + r ) n conduit précisément à l'obtention de la somme S n à l'issue des n années de placement). Aussi appellera-t-on dans ce contexte valeur présente de la somme S n la somme S n / ( 1 + r ) n .

  3. Taux d'intérêt permettant la réalisation de l'investissement

    1. Montrer que la valeur présente (à la fin de l'année 0 ) de l'investissement décrit ci-dessus est égale, compte tenu de la dépense initiale S 0 et des revenus attendus à : V P ( r ) = S ( 1 + r ) N + S ( 1 + r ) N 1 + \dots + S ( 1 + r ) 2 + S ( 1 + r ) S 0

      L'investissement précédent est alors réalisé si et seulement si l'inégalité V P ( r ) 0 est vérifiée, c'est çà dire s'il est financièrement plus intéressant de réaliser l'investissement projeté que de placer la somme S 0 au taux d'intérêt des placements comme on l'a décrit plus haut.

    2. Montrer que l'équation V P ( r ) = 0 possède une unique racine strictement positive r N et une seule si N > S 0 / S , et donner l'expression de celle-ci en focntion de x N et montrer que l'investissement décrit est réalisé si et seulement si r r N

    3. Préciser le sens de variation et la limite r * de la suite ( r N ) , puis exprimer cette lmite r * en fonction de S et de S 0 et préciser un équivalent de l'erreur r * r N faite en remplaçant r N par r * .

Partie III

  1. Etude de l'équation N x N + ( N 1 ) x N 1 + \dots + 2 x 2 + x a = 0

    On note g N la fonction plynôme définie par : g N ( x ) = N x N + ( N 1 ) x N 1 + \dots + 2 x 2 + x a .

    1. Montrer que l'équation g N ( x ) = 0 possède une racine strictement positive y N et une seule, puis montrer que celle-ci appartient ] 0 , 1 [ lorsque N ( N + 1 ) > 2 a .

    2. Montrer la relation ( ** ) : ( x 1 ) 2 g N ( x ) = N x N + 2 ( N + 1 ) x N + 1 + x a ( x 1 ) 2

  2. Racine positive de l'équation N x N + ( N 1 ) x N 1 + \dots + 2 x 2 + x a = 0

    1. Montrer que g N + 1 ( y N ) > g N ( y N ) et en déduire que la suite ( y N ) est strictement décroissante.

      En déduire que la suite ( y N ) converge vers un nombre réel y * apparteneant à [ 0 , 1 [ .

    2. Montrer que 0 < N y N N N y A N pour N A A est un nombre entier tel que A ( A + 1 ) > 2 a .

      En déduire la limite de la suite ( N y N N ) lorsque N tend vers + , et, à l'aide de la relation ( ** ) , exprimer la limite y * en fonction de a .

    On modifie les hypothèses précédentes et on suppose désormais que l'investissement considéré, qui nécessite toujours l'apport initial d'une somme S 0 l'année 0, rapporte de plus en plus pendant chacune des N années suivantes, comme suit : une somme S l'année 1, une somme 2 S l'année 2, une somme 3 S l'année 3, \dots , une somme N S l'année N .

  3. Taux d'intérêt permettant la réalisation de l'investissement

    1. Montrer que la valeur présente (à la fin de l'année 0) de l'investissement décrit est égal à : V P ( r ) = N S ( 1 + r ) N + ( N 1 ) S ( 1 + r ) N 1 + \dots + 2 S ( 1 + r ) 2 + S ( 1 + r ) S 0



      L'investissement précédent est alors réalisé si et seulement si l'inégalité V P ( r ) 0 est vérifiée.

    2. Montrer que l'équation V P ( r ) = 0 possède une racine strictement positive r N et une seule lorsque N ( N + 1 ) > 2 S 0 / S , puis donner l'expression de celle-ci en fonction de y N et montrer que l'investissement décrit est réalisé si et seulement si r r N .

    3. Préciser le sens de variation et la limite de r * de la suite ( r N ) , puis exprimer cette limite r * en fonction de S et de S 0