EML 2002
On considère, pour tout n\mathbb * , la fonction polynomiale Pn :[0,+[\mathbb définie pour tout x[0,+[, par :
Pn (x)= k=1 2n (-1 )k xk k =-x+ x2 2 ++ - x2n-1 2n-1 + x2n 2n

I. Étude des fonctions polynomiales Pn
  1. Montrer, pour tout n\mathbb * et tout x[0,+[ :
    Pn ' (x)= x2n -1 x+1     Pn ' désigne la dérivée de Pn

  2. Établir, pour n\mathbb * , les variations de Pn sur [0,+[ et dresser le tableau de variations de Pn .
  3. Montrer, pour tout n\mathbb * : Pn (1)<0.
    1. Vérifier, pour tout n\mathbb * et tout x[0,+[ :
      Pn+1 (x)= Pn (x)+ x2n+1 (- 1 2n+1 + x 2n+2 )

    2. En déduire, pour tout n\mathbb * : Pn (2)\geqslant0.
  4. Montrer que, pour tout n\mathbb * , l'équation Pn (x)=0, d'inconnue x[1,+[, admet une solution et une seule notée xn , et que :
    1< xn \leqslant2

  5. Écrire un programme en langage Pascal qui calcule une valeur approchée décimale de x2 à 10-3 près.
II. Limite de la suite ( xn )n\mathbb N*
  1. Établir, pour tout n\mathbb * et tout x[0,+[ :
    Pn (x)= 0 x t2n -1 t+1 dt

  2. En déduire, pour tout n\mathbb * :
    1 xn t2n -1 t+1 dt= 0 1 1- t2n t+1 dt

  3. Démontrer, pour tout n\mathbb * et tout t[1,+[ :
    t2n -1\geqslantn( t2 -1)

  4. En déduire, pour tout n\mathbb * :
    1 xn t2n -1 t+1 dt\geqslant n 2 ( xn -1 )2 ,

    puis :
    0< xn -1\leqslant 2ln2 n

  5. Conclure quant à la convergence et à la limite de la suite ( xn )n\mathbb * .
(EML 2002)



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On 18 May 2004, 00:02.