Corrigé par Pierre Veuillez
    1. f est dérivable sur * et
      f' (x)= e-1/x +x· 1 x2 e-1/x = x+1 x e-1/x

      est du signe de (x+1)/x
      x - - -1 + 0 + +
      x-1 - - 0 + affine
      f' (x) + 0 - +
      f(x) -1/e
      0
      • En ±:
        x· e-1/x}0 ±
        La direction asymptoitique est donnée par :
        f(x)/x= e-1/x 1: direction asymptotique d'équation y=x
        Recherche de'asymtpote :
        f(x)-x = x· e-1/x -xFI = x( e-1/x -1)FI = x( e-1/x -1 -1/x ) -1 x =- e-1/x -1 -1/x -1

        car eX -1\undersetX0\thicksimX et que -1/x\undersetx±0
        Il y a donc une asymptote d'équation y=x-1 en ±
      • En 0- :
        f(x) = x· e-1/x}+ FI = - e-1/x -1/x \undersetx 0- -

        car eX >>X quand X+ et que -1/x\undersetx 0- +
        Il y a donc une asymptote verticale en 0-
        Remarque : on pouvait aussi faire entrer le x dans l' exp mais comme x<0, x=-(-x)=- eln(-x) et il fallait ensuite faire un changement de variable h=-x 0+ .
      • En 0+ :
        f(x)=x· e-1/x}- 0.
        Il faut alors déterminer la tangente en cherchant la limite du taux d'acroissement où l'on remplace la valeur non définie de f en 0 par la limite
        f(x)-0 x-0 = e-1/x 0

        et il y a donc une tangente horizontale en ce point.
    2. Pour le tracer, il faudra placer les asymptotes, la tangente en 0 et le minimum avec sa tangente.
    3. On utilise le théorème de bijection :
      f est continue et strictement croissante sur ]0,+[ elle est donc bijective de ]0,+[ dans ] lim0 f, lim+ f[=]0,+[
      Or pour tout n1, on a n]0,+[ donc l'équation f(x)=n a une unique solution un sur ]0,+[
    4. Pour montrer que u n'est pas majorée on raisonne par l'absurde :
      • On montre tout d'abord que u est croissante :
        pour tout enier n1 on a f( un+1 )=n+1>n=f( un ) et comme f est strictement croissante sur }0,+[ et que un et un+1 en sont éléments, alors un+1 > un et la suite u est croissante.
      • Si u est majorée alors elle est convergente.Soit sa limite. Et comme u est croissante, pour tout entier n, un u0 donc u0 >0
        Donc f es continue en et f( un )\undersetn+f(). Mais f( un )=n\undersetn++ ce qui est contradictoire.
      • Donc u n'est pas majorée et croissante donc tend vers +
    5. Comme la droite d'équation y=x-1 est asymptote à la courbe représentative de f, on a donc ϵ(x)=f(x)-x+10 et donc f(x)=x-1+ϵ(x) avec ϵ(x)\undersetx+0
      On a alors n=f( un )= un -1+ϵ( un ) et
      un =n+1+ϵ( un )

      avec ϵn =ϵ( un )\undersetn+0 car ϵ(x)\undersetx+0 et un \undersetn++
      et finalement
      un =n+1+ ϵn

      avec ϵn 0



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On 18 May 2004, 00:02.