ECRICOME 2001

On désigne par n un entier naturel non nul et a un réel strictement positif.

On se propose d'\etudier les racines de l'\equation : ( E n ) : 1 x + 1 x + 1 + 1 x + 2 + + 1 x + 2 n = a

\A cet effet, on introduit la fonction f n , de la variable r\eelle x d\efinie par : f n ( x ) = 1 x + 1 x + 1 + 1 x + 2 + + 1 x + 2 n a

  1. Étude d'un cas particulier.

    Pour cette question seulement, on prend a = 11 6 et n = 1 .

    1. Représenter la fonction f 1 relativement à un repère orthonormal du plan. (unité graphique 2 cm)

    2. Calculer f 1 ( 1 ) , puis déterminer les racines de ( E 1 ) .

      (On donne 37 = 6 , 08 à 10 2 près par défaut)

  2. Dénombrement des racines de ( E n ) .

    1. Dresser le tableau de variations de f n .

    2. Justifier l'existence de racines de l'équation ( E n ) et en déterminer le nombre.

  3. Équivalent de la plus grande des racines quand n tend vers + .

    On note x n la plus grande des racines de ( E n ) .

    1. Justifier que x n > 0 .

    2. Démontrer que pour tout réel x > 1 : 1 x < ln x x 1 < 1 x 1

    3. En déduire que pour x réel strictement positif : f n ( x ) 1 x + a < ln ( 1 + 2 n x ) < f n ( x ) 1 x + 2 n + a puis, que : a 1 x n < ln ( 1 + 2 n x n ) < a 1 x n + 2 n

    4. Montrer que pour tout n entier naturel, non nul : x n > 2 n exp a 1

    5. Quelle est la limite de x n , puis la limite de ln ( 1 + 2 n x n ) , lorsque n tend vers + ?

    6. Prouver enfin l'existence d'un réel δ , que l'on exprimera en fonction de a , tel que l'on ait, au voisinage de l'infini, l'équivalent suivant : x n n + δ . n




(ECRICOME 2001)