Suite implicite

  1. On pose f n ( x ) = x n + 1 n x .

  2. Montrer que, pour chaque entier n 2 , l'équation x n + 1 = n x possède une unique solution dans l'intervalle [ 0 , 1 ] . On note x n cette racine.

  3. Calculer x 2 .

  4. Etudier le signe de f n + 1 ( x ) f n ( x ) sur [ 0 , 1 ] . En déduire le signe de f n + 1 ( x n ) .

  5. Déterminer la monotonie de la suite ( x n ) n et montrer sa convergence.

  6. Justifier que n 2 , 0 x n 2 n . En déduire lim n + x n .

  7. Déterminer la limite de x n n puis montrer que de x n 1 n quand n tend vers +