Corrigé Si017 par Pierre Veuillez
Soit n un entier supérieur ou égalà 1.
On définit la fonction fn par fn (x)= xn + xn-1 ++x-1= k=1 n xk -1
On considère l'équation : xn + xn-1 ++x-1=0
  1. On utilise le théorème de bijection :
    fn est dérivable sur \BbbR et fn ' (x)= k=1 n kxk-1 .
    Comme on a besoin du signe strict sur [0,1] : fn ' (x)=1+ k=2 n kxk-1 >0 sur [0,1]
    Donc fn est continue et strictement croissante sur [0,1]
    Donc elle est bijective de [0,1] dans [ fn (0); fn (1)]
    Comme fn (0)=-1 et fn (1)= 1n ++1-1=n-10 alors 0[ fn (0); fn (1)]
    Donc l'équation fn (x)=0 a bien une unique solution an sur [0,1]
    C'est à dire que an [0,1] et fn ( an )=0
  2. On a fn+1 (x)= k=1 n+1 xk -1= xn+1 + k=1 n xk -1= xn+1 + fn (x)
    donc fn+1 ( an )= an n+1 + fn ( an )= an n+1 0 car an [0,1]
    Pour obtenir le sens de variation de la suite a, on compare an et an+1 .
    Comme on ne les connait pas, on compare leurs images par ... fn+1 :
    fn+1 ( an )0= fn+1 ( an+1 ) (en effet, fn (a)=0 pour tout n1 et en particulier pour n+12)
    Comme fn+1 est strictement croissante sur [0,1] et que an et an+1 en sont éléments, an an+1 et la suite ( an )n1 est donc décroissante.
    Comme elle est minorée par 0 ( an [0,1] pour tout n) elle est alors convergente. Soit sa limite.
    a2 est la solution sur [0,1] de l'équation f2 (x)=0:
    f2 (x)= x2 +x-1=0 est du second degré et a pour discriminant Δ=1+4=5
    Elle a donc pour solutions -1-5 2 <0 et -1+5 2
    Comme a2 0 alors a2 -1-5 2 et comme il n'y a pas d'autre solution, par élimination, a2 = -1+5 2 .
    Comme 5<2,4 alors -1+5<1,4 et a2 <0,7
    Comme la suite est décroissante alors pour tout n2 on a an [0;0,7] et par passage à la limite dans les inégalités, on a [0;0,7]
  3. k=1 n xk = k=0 n xk -1= xn+1 -1 x-1 -1
    Donc fn (x)= xn+1 -1 x-1 -1-1 et fn (x)=0 xn+1 -1=2(x-1)x= xn+1 +1 2
    Donc an = an n+1 +1 2 .
    On réutilise à présent 0 an 0,7 d'où 0n+1 an n+1 0, 7n+1 0 quand n+ car |0,7|<1
    Donc, par encadrement an n+1 0 et enfin an = an n+1 +1 2 1 2
    Finalement = 1 2



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On 11 Oct 2005, 22:24.