Corrigé EDHEC 2004 par Pierre Veuillez
Dans ce problème, la lettre n désigne un entier naturel non nul.
On note fn la fonction définie sur \BbbR par : fn (x)=x e- n x si x0 et fn (0)=0.
On note Cn la courbe représentative de fn dans un repère orthonormé (O, i , j ).
    1. Quand x 0+ on a - n x - donc fn (x)=x e- n x 0= fn (0)
      Et fn est continue à droite en 0.
    2. On calcule la limite du taux d'accroissement :
      Quand x 0+ on a fn (x)- fn (0) x-0 = e- n x 0
      Conclusion :
      fn est dérivable à droite en 0 et sa dérivée en 0 est fn ' ( 0+ )=0
    1. fn est composée et produit de fonctions dérivables (dénominateur x0) donc fn est dérivable sur ]-,0[ et sur ]0,+[ et
      fn ' (x) = e- n x +x e- n x n x2 = e- n x x+n x

      et on a alors ( x2 >0 )
      x -n 0 +
      x+n - 0 + + affine
      x - - 0 +
      fn ' (x) + - +
      fn (x) - -ne - 0 +
    2. En +: e- n x 1 et donc fn (x)=x e- n x + et de même
      En -: fn (x)=x e- n x -
      En 0- on a une forme indéterminée que l'on lève par le changement de variable X=- 1 x

      fn (x)=- enX X =- ( en )X X -

      car X=o( ( en )X ) car en >1
    1. On a eu =1+u+ u2 /2+ u2 ϵ(u) avec ϵ(u)0 quand u0
    2. On a donc
      f(x)=x e- n x =x(1- n x + n2 2 x2 + n2 x2 ϵ(- n x ))=x-n+ n2 2x + n x ϵ( n x ) =x-n+ n2 2x +o( 1 x )

      au voisinage de ±
    3. On a donc fn (x)-(x-n)= n2 2x +o( 1 x )0 quand x± et Cn admet pour asymptote la droite Dn d'équation y=x-n
      Comme n2 2x +o( 1 x )= 1 x ( n2 2 +o(1)) alors au voisinage de + la différence tend vers 0+ et la courbe est au dessus de l'asymptote et en dessous en -.
    4. Pour C1 , il faut placer les asympotes (oblique en ± et verticale en 0) ainsi que la tangente horizontale en 0+ , le minimum en -n avec une tangente horizontale et respecter le sens de variation.
    1. Sur \Bbb R- , fn est maximale en -n où elle vaut -n/e<0 donc l'équation fn (x)=1 n' y a pas de solution.
      Sur ]0,+[, fn est continue et strictement croissante donc bijective de ] lim0 fn , lim+ fn [=]0,+[
      Et comme 1]0,+[, l'équation fn (x)=1 y a une unique solution un .
      Conclusion :
      sur \BbbR, il existe un unique réel un , tel que fn ( un )=1 (et un >0 )
    2. Pour tout n de \Bbb N* , comme fn (1)= e-n < e0 car -n<0 alors
      fn (1)< fn ( un ) et la fontion fn étant strictement croissante sur \Bbb R+ * et 1 ét un en étant éléments, on a alors 1< un
      On transforme alors l'équation définissant un :
      Pour x>1 , si fn (x)=1 alors x   e- n x =1 donc e- n x = 1 x car x0 et - n x =-ln(x) d'où finalment xln(x)=n
      Conclusion :
      un est une solution de xln(x)=n
    3. g est dérivable sur [1,+[ (car x>0 ) et g' (x)=ln(x)+ x x =ln(x)+1>0 pour x1
      Donc g est continue et strictement croissante donc bijective de [1,+[ dans [ lim1 g, lim+ g[=[0,+[ et admet donc une réciproque dont on a le tableau de variations par symétrie :
      x 1 +
      g(x) 0 +
      et
      x 0 +
      g-1 (x) 1 +
      donc g-1 tend vers + en +
      De plus, comme un [1,+[, que n[0,+[ et que g( un )=n alors un = g-1 (n) +.
      Conclusion :
      limn+ un =+.
    4. Comme un ln( un )=n et que un >1 et donc ln( un )>0 alors ln[ un ln( un )]=ln( un )+ln(ln( un ))=ln(n)
      D'où en factorisant : ln(n)=ln( un )[1+ ln(ln( un )) ln( un ) ] avec []1 car ln(X)=o(X) quand X +
      et finalement ln( un )\thicksimln(n).
      L'erreur serait de dire qu'alors, les epxonentielles sont équivalente. On n'a pas de tel théorème.
      On revient donc à un ln( un )=n d'où
      Conclusion :
      un = n ln( un ) \thicksim n ln(n) quand n+
    1. On sait que un = g-1 (n) donc comme n<n+1 et que g-1 est strictment croissante sur [0,+[ et que n et n+1 en sont éléments , alors un < un+1 et
      Conclusion :
      la suite ( un )n1 est strictement croissante.
    2. On fait réapparaître fn+1 dans fn
      fn ( un+1 )= un+1 e- n un+1 = un+1 e- n+1 un+1 + 1 un+1 = fn+1 ( un+1 ) e 1 un+1 = e 1 un+1

  1. On pose In = un un+1 fn (t)dt.
    1. Pour encadrer l'intégrale, on encadre la fonction (qui est continue donc intégrable)
      La suite u est croissante donc un un+1 et
      si un t un+1 alors fn ( un ) fn (t) fn ( un+1 ) car fn est strictement croissante sur \Bbb R+ * et que un ,  t et un+1 en sont éléments.
      Et comme fn ( un )=1 et que fn ( un+1 )= e\dfrac1 un+1 alors 1 fn (t) e\dfrac1 un+1 pour tout t de [ un , un+1 ]
      On sait que un un+1 donc l'inégalité de la moyenne donne alors 
      1 In un+1 - un e\dfrac1 un+1 .
    2. Comme un+1 + alors e\dfrac1 un+1 1 et par encadrement In un+1 - un 1
      Conclusion :
      In \thicksim un+1 - un lorsque n+
    3. La somme paritelle n=1 N( un+1 - un )= uN+1 - u1 par "simplification diagonale" et tend donc vers + quand N tend vers +
      Donc la série n1 ( un+1 - un ) diverge.
      Comme In 0 alors par comparaison de séries à termes positifs, la série n1 In est de même nature
      Conclusion :
      n1 In donc diverge.



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On 11 Oct 2005, 22:24.