EDHEC 2004
Dans ce problème, la lettre n désigne un entier naturel non nul.
On note fn la fonction définie sur \BbbR par : fn (x)=x e- n x si x0 et fn (0)=0.
On note Cn la courbe représentative de fn dans un repère orthonormé (O, i , j ).
    1. Montrer que fn est continue à droite en 0.
    2. Montrer que fn est dérivable à droite en 0 et donner la valeur du nombre dérivé à droite en 0 de fn .
    1. Montrer que fn est dérivable sur ]-,0[ et sur ]0,+[.
      Pour tout réel x non nul, calculer fn ' (x) puis étudier son signe.
    2. Calculer les limites de fn en +, - et 0- -, puis donner le tableau de variations de fn .
    1. Rappeler le développement limité à l'ordre 2 de eu lorsque u est au voisinage de 0.
    2. En déduire que, lorsque x est au voisinage de + ou au voisinage de -, on a : fn (x)=x-n+ n2 2x +o( 1 x )
    3. En déduire qu'au voisinage de +, ainsi qu'au voisinage de -,   Cn admet une asymptote oblique Dn dont on donnera une équation. Préciser la position relative de Dn et Cn aux voisinages de + et de -
    4. Donner l'allure de la courbe ( C1 ).
    1. Montrer qu'il existe un unique réel, que l'on notera un , tel que fn ( un )=1.
    2. Vérifier que, pour tout n de \Bbb N* , un est strictement supérieur à 1 et que un est solution de l'équation xln(x)=n.
    3. Étudier la fonction g définie sur [1,+[ par g(x)=xln(x). En déduire, en utilisant la fonction g-1 , que limn+ un =+.
    4. Justifier la relation ln( un )+ln(ln( un ))=ln(n), puis montrer que ln( un )\stackunder+\thicksimln(n).
      En déduire un équivalent de un lorsque n est au voisinage de +.
    1. Montrer que la suite ( un )n1 est strictement croissante.
    2. Montrer que : fn ( un+1 )= e 1 un+1 .
  1. On pose In = un un+1 fn (t)dt.
    1. Montrer que : 1 In un+1 - un e\dfrac1 un+1 .
    2. En déduire un équivalent de In lorsque n est au voisinage de +.
    3. Montrer alors que la série de terme général In est divergente.
(EDHEC 2004)



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On 11 Oct 2005, 22:24.