Si019
Soit, pour tout entier n, fn la fonction définie sur ]0,+[ par fn (x)=nx+ln(x).
  1. Montrer que l'équation fn (x)=0 a une unique soution sur \BbbR et qu'elle appartient à ]0,1]. On note xn cettte solution.
  2. Sens de variation
    1. Montrer que pour tout x]0,+[: fn+1 (x)> fn (x)
    2. En déduire que fn+1 ( xn )>0 puis que la suite ( xn )n\BbbN est décroissante
  3. Limite
    1. Montrer que la suite converge. On note sa limite.
    2. Montrer que ]0,1]
    3. En déduire que =0
  4. Vitesse de convergence
    1. Montrer que pour n3>e: xn > 1 n
    2. Etudier le signe de x-ln(x) et en déduire que xn < 1 n



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On 11 Oct 2005, 22:24.