Corrig\e par Pierre Veuillez

  1. a)

    k = 0 n + 1 k 3 = ( ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 ) 2 en substituant n + 1 à n dans la formule.

    b) i = 0 n ( 2 ) 2 i = i = 0 n ( ( 2 ) 2 ) i = i = 0 n 4 i = 4 n + 1 1 3

    c) k = 2 2 n ( k + 2 k ) = k = 0 2 n ( k + 2 k ) 0 1 2 0 2 1 = k = 0 2 n k + k = 0 2 n 2 k 4 = 2 n ( 2 n + 1 ) 2 + 2 2 n + 1 5 = n ( 2 n + 1 ) + 2 2 n + 1 5

    d) i = n 2 n 1 3 i / 2 = i = 0 2 n 1 3 i / 2 i = 0 n 1 1 3 i / 2 = i = 0 2 n 1 / 3 i i = 0 n 1 1 / 3 i = 1 / 3 2 n + 1 1 1 / 3 1 1 / 3 n 1 1 / 3 1 = 1 / 3 2 n + 1 1 / 3 n 1 3 3 = 3 1 3 2 n + 1 1 3 n 1 3 = 3 1 3 n + 1 3 2 n + 1 ( 1 3 ) = 3 1 3 n + 1 ( 3 2 ) n 3 ( 1 3 ) = ( 1 3 n + 1 ) ( 1 + 3 ) 3 n ( 1 3 ) = ( 1 3 n + 1 ) ( 1 + 3 ) 2.3 n

  2. k = 0 2 n | k n |    l'expression de | k n | dépend du signe de k n :

    si k n , alors | k n | = k n et si k n , alors | k n | = n k . On découpe donc la somme en fonction de celà: k = 0 2 n | k n | = k = 0 n 1 ( n k ) + k = n 2 n ( k n ) = k = 0 n 1 n k = 0 n 1 k + k = n 2 n k k = n 2 n n = n k = 0 n 1 1 k = 0 n 1 k + k = 0 2 n k k = 0 n 1 k n k = n 2 n 1 = n . n 2 ( n 1 ) n 2 + 2 n ( 2 n + 1 ) 2 = n 2 ( n 1 ) n + n ( 2 n + 1 ) = 2 n 2 + 2 n = 2 n ( n + 1 )

  3. Calculer et facoriser: i = 0 2 n i ( i + 1 ) =  on n'a pas de produit par des constantes, ni de sommes; on transforme: = i = 0 2 n i 2 + i = i = 0 2 n i 2 + i = 0 2 n i = 2 n ( 2 n + 1 ) ( 2.2 n + 1 ) 6 + 2 n ( 2 n + 1 ) 2 = 2 n ( 2 n + 1 ) 6 ( ( 4 n + 1 ) + 3 ) = 4 n ( 2 n + 1 ) ( n + 1 ) 3

  4. Calculer

    i = n + 1 2 n ( 1 2 i ) 2 =  on n'a pas de puissance  i  et la borne inférieure n'est pas nule: = i = 0 2 n 1 2 2 i i = 0 n 1 2 2 i = i = 0 2 n ( 1 4 ) i i = 0 n ( 1 4 ) i = ( 1 / 4 ) 2 n + 1 1 1 / 4 1 ( 1 / 4 ) n + 1 1 1 / 4 1 = ( 1 / 4 ) 2 n + 1 ( 1 / 4 ) n + 1 3 / 4 = 4 3 ( 1 / 4 ) n + 1 ( ( 1 / 4 ) n 1 ) = 1 3 4 n ( 1 4 n 1 ) = 1 4 n 3 4 2 n

  5. Calculer k = 0 n ( ( k + 1 ) 3 k 3 ) :

    On peut décelopper le cube (c'est lourd) ou remarquer que l'on a deux fois le même terme à un décalage d'indice près. k = 0 n ( ( k + 1 ) 3 k 3 ) = k = 0 n ( k + 1 ) 3 k = 0 n k 3  on réindexe le premier par  i = k + 1 = i = 1 n + 1 i 3 k = 0 n k 3  les termes de 1 à  n  sont en commun = i = 1 n i 3 + ( n + 1 ) 3 k = 1 n k 3 0 = ( n + 1 ) 3