Corrig\e par Pierre Veuillez

    1. ln ( 1 + 1 k ) = ln ( k + 1 k ) = ln ( 1 + k ) ln ( k ) . Donc a = 1 et b = 1 conviennent.

    2. Donc S n = k = 2 n ln ( 1 + 1 k ) = k = 2 n ln ( 1 + k ) ln ( k ) = k = 2 n ln ( 1 + k ) k = 2 n ln ( k ) = i = 3 n + 1 ln ( i ) k = 2 n ln ( k )  (on réindexe par  i = k + 1 ,  les indices de  3  à n sont communs)  = i = 3 n ln ( i ) + ln ( n + 1 ) k = 3 n ln ( k ) ln ( 2 ) = ln ( n + 1 2 ) .

    1. Soit g ( x ) = x ln ( 1 + x ) . g est dérivable en x tel que 1 + x > 0 i.e. sur ] 1 , + [ .

      g ( x ) = 1 1 1 + x = 1 + x 1 1 + x = x 1 + x > 0  sur  ] 0 , + ] Or g ( 0 ) = 0 donc g ( x ) 0 sur [ 0 , + [ . Finalement x ln ( 1 + x ) 0 et l n ( 1 + x ) x sur [ 0 , + [ .

    2. Comme pôur tout k 2 , 1 / k > 0 alors ln ( 1 + 1 k ) 1 k et

      k = 2 n ln ( 1 + 1 k ) k = 2 n 1 k . Donc pour tout n 2 , S n T n . Or S n = ln ( n + 1 2 ) n + + . Donc par minoration, T n n + + .

    3. Et comme T n ln ( n + 1 2 ) , quand ln ( n + 1 2 ) > 100 alors T n > 100 .

      En prenant pour n la partie entière de 2. e 100 on aura cette inégalité.