On considère pour tout n entier, n 2 , S n = k = 2 n ln ( 1 + 1 k ) et T n = k = 2 n 1 k

    1. Déterminer a et b réels tels que pour tout entier k non nul:

      ln ( 1 + 1 k ) = a . ln ( 1 + k ) + b . ln ( k ) . (on pourra factoriser 1 + 1 k )

    2. En déduire que S n = ln ( n + 1 2 ) , puis la limite S n quand n tend vers + .

    1. Etudier les de variations sur [ 0 , + [ de la fonction g définie par g ( x ) = x ln ( 1 + x )

      En déduire que pour tout x 0 , ln ( 1 + x ) x .

    2. En déduire que, pour tout n 2 , S n T n .

    3. Déterminer la limite de T n quand n tend vers + .

    4. Donner une valeur de n pour laquelle T n > 100 .