Corrigé par Pierre Veuillez

    1. Est ce que 1 n 1 n + 1 1 n 2 1 n 1 1 n ? On calcul les différences: 1 n 1 n + 1 1 n 2 = n ( n + 1 ) n 2 ( n + 1 ) n 2 ( n + 1 ) = 1 n 2 ( n + 1 ) < 0  pour  n > 0 et 1 n 2 ( 1 n 1 1 n ) = n 1 n 2 + n ( n 1 ) n 2 ( n 1 ) = 1 n 2 ( n 1 ) < 0  pour  n > 1 CQFD

    2. On reconnait la différence de termes décalés: k = 2 n 1 k 1 1 k = k = 2 n 1 k 1 k = 2 n 1 k = i = 1 n 1 1 i k = 2 n 1 k  réindexation  i = k 1 la partie commune est  [ 2 , n 1 ] \dots = i = 2 n 1 1 i + 1 1 k = 2 n 1 1 k 1 n = 1 1 n 1  pour  n > 0

    1. En sommant les inégalités 1 k 2 1 k 1 1 k , on obtient: S n = k = 2 n 1 k 2 k = 2 n 1 k 1 1 k 1

    2. On a pour tout n 1 : S n + 1 S n = k = 2 n + 1 1 k 2 k = 2 n 1 k 2 = 1 ( n + 1 ) 2 0 donc S n + 1 S n .

    1. Il faut reconnaître pour la suite que S n S m = k = m + 1 n 1 k 2 En sommant les inégalités, 1 k 1 k + 1 1 k 2 1 k 1 1 k , on obtient comme n m 1 : 1 m + 1 1 n + 1 = k = m + 1 n 1 k 1 k + 1 k = m + 1 n 1 k 2 k = m + 1 n 1 k 1 1 k = 1 m 1 n 1 m

    2. Or 1 / n + 1 0 donc par passage à la limite, 1 m + 1 R m 1 m

  1. L S n 10 2 pour R m 10 2 donc pour m = 100 . S 1 0 0 donnera donc une valeur approchée à 10 2 près de L .