Le but de l'exercice est d'étudier la limite de la suite S définie par:

pour tout n entier n 2 , S n = k = 2 n 1 k 2 et d'en calculer une valeur approchée.




    1. Montrer que pour tout entier k tel que k 2 : 1 k 1 k + 1 1 k 2 1 k 1 1 k

    2. Pour n 2 , calculer k = 2 n 1 k 1 1 k et montrer que k = 2 n 1 k 1 1 k 1 .

    1. Montrer que pour tout entier n 2 , S n 1

    2. Montrer que pour tout n 2 , S n S n + 1 .

      On admet qu'alors (suite croissante et majorée par une constante) S n a une limite finie quand n tend vers + (on notera L = lim n + S n ).

      Pour pour tout entier m 2 , on note R m = L S m = lim n + ( S n S m ) .

    1. Montrer que pour tout entier m et n m 1 : 1 m + 1 1 n + 1 k = m + 1 n 1 k 2 1 m

    2. En déduire que pour tout entier m 1 : 1 m + 1 R m 1 m

  1. Déterminer la plus petite valeur de n telle que L S m 10 2