(EDHEC 2001)




Partie 1



On pose, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, v n = k = 1 n 1 k .

  1. Montrer que : k > 1 , 1 k ln ( k ) ln ( k 1 )

  2. En déduire que : n * , v n ln ( n ) + 1 .




Partie 2



On considère une suite u définie par son premier terme u 0 = 1 et par la relation suivante, valable pour tout entier n : u n + 1 = u n + 1 u n .

    1. Montrer par récurrence que chaque terme de cette suite est parfaitement défini et strictement positif.

    2. En déduire le sens de variation de la suite ( u n ) .

    1. Pour tout entier k , exprimer u k + 1 2 u k 2 en fonction de u k 2 .

    2. En déduire que : n * : u n 2 = 2 n + 1 + k = 0 n 1 1 u k 2 .

    3. Montrer que : n * , u n 2 2 n + 1 . En déduire la limite de la suite u .

    1. A l'aide du résultat précédent, montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 :
      u n 2 2 n + 2 + 1 2 v n 1 .

    2. En utilisant la partie 1., établir que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : u n 2 2 n + 5 2 + ln ( n 1 ) 2 .

    3. En déduire finalement que u n 2 n quand n + . (EDHEC 2001)





Partie 3 (HORS SUJET)



  1. Ecrire un programme en Turbo Pascal permettant de calculer et d'afficher u n lorsque l'utilisateur entre la valeur de n au clavier.

    1. Ecrire un deuxième programme, toujours en Turbo Pascal, qui permette de déterminer et d'afficher le plus petit entier naturel n pour lequel u n 100 .

    2. On donne l n 2 < 0 , 70 et l n 5 < 1 , 61 . En déduire un majorant de ln 5000.

    3. Montrer que l'entier n trouvé en 2a) est compris entre 4995 et 5000.

(EDHEC 2001)