On note dans tous le problème et pour tout entier n 1 , S n = k = 0 n 1 k !

L'objet de ce proiblème et de démontrer que cette suite tend vers e et de programmer le calcul d'une valeur approchée de e .

  1. Question préliminaire :

    Montrer que pour tout entier n 1 , n ! n et en déduire que n ! n + + .

  2. On définit la suite T par : pour tout entier n 1 , T n = k = 0 n 1 k ! + 1 n ! = S n + 1 n ! .

    1. Montrer que la suite S est croissante et que la suite T est décroissante (à partir de l'indice 1)

    2. Montrer que pour tout entier n 1 : S n T n et en déduire que la suite S est majorée et la suite T est minorée (par une constante)

    3. Montrer que S et T ont la même limite et que pour tout entier n : S n T n

    4. A quelle condition sur n , S n donne-t-elle une valeur approchée de avec une précision ϵ ?

  3. L'objet de cette partie est d'écrire un programme en PASCAL permettant de calculer une valeur approchée de avec la précision voulue. Pour ce faire, on affectera les sommes S n à une variable S , les valeurs de k à une variable K , les valeurs de 1 / k ! à une variable F et la précision voulue à une variable e p s i l o n

    1. Quelles sont pour n = 0 les valeurs de F , et de S ?

    2. Comment obtient-on 1 / ( k + 1 ) ! à partir de 1 / k ! ?

      Comment obtient-on la valeur suivante de F à partir de sa valeur précédente, si K contient la valeur suivante ( k + 1 ) ?

    3. Comment obtient-on la valeur suivante de S à partir de la précédente si F contient la valeur suivante ?

    4. Ecrire un programme qui demande une précision puis calcule et affiche la première valeur de S n pour laquelle 1 / n ! est plus petit que cette précision.

  4. On se propose de démontrer à présent que = e

    On pose pour tout entier n : f n ( x ) = e x k = 0 n x k k !  et  g n ( x ) = e x k = 0 n x k k ! ( e 1 ) x n n ! = f n ( x ) ( e 1 ) x n n !

    1. Montrer que pour tout entier n , f n + 1 ( x ) = f n ( x ) et en déduire par récurrence sur n que pour tout entier n et tout x [ 0 , 1 ] , f n ( x ) 0

    2. Montrer de même que pour tout entier n et tout x [ 0 , 1 ] , g n ( x ) 0

      et donc que f n ( x ) ( e 1 ) x n n !

    3. En considérant une valeur de x particulière, déduisez-en que pour tout entier n : 0 e S n e 1 n !

    4. En déduire que la limite de S n quand n tend vers + .