Corrigé HEC II 2004 par Abdellah BECHATA

    1. Pour tout entier n 0 , a n est une probabilité donc a n 0. Puisque X ( Ω ) = × , la famille ( X = n ) n 1 est un système complet d'évènements donc la série n 1 P ( X = n ) converge et n = 1 + P ( X = n ) donc n = 1 + a n = 1.

    2. x [ 0 , 1 ] , n 1 , | a n x n | = | a n | | x | n = a n | x | n a n . La série n 1 a n étant convergente, on en déduit que la série n 1 a n x n est absolument convergente donc convergente.

    1. En remarquant que pour x 1 , k = 0 n 1 x k = 1 x n 1 x , on a, pour tout réel x [ 0 , 1 [ , l'égalité : f ( 1 ) f ( x ) 1 x = 1 1 x ( n = 1 + a n n = 1 + a n x n ) = 1 1 x n = 1 + a n ( 1 x n ) = n = 1 + a n ( 1 x n 1 x ) = n = 1 + a n ( k = 0 n 1 x k ) .

    2. Soient x et y deux réels appartenant à [ 0 , 1 [ tels que 0 x y . Pour tout entier k 1 , 0 x k y k . Ainsi, en sommant sur k variant de 0 à n 1 ( n 1 ) et utilisant la positivité des a n , on obtient : n 1 , 0 k = 0 n 1 x k k = 0 n 1 y k ( a n 0 ) 0 a n ( k = 0 n 1 x k ) a n ( k = 0 n 1 y k ) . En sommant sur tous les entiers n non nuls, on en déduit l'inégalité 0 n = 1 + a n ( k = 0 n 1 x k ) n = 1 + a n ( k = 0 n 1 y k ) 0 f ( 1 ) f ( x ) 1 x f ( 1 ) f ( y ) 1 y , ce qui démontre que la fonction x f ( 1 ) f ( x ) 1 x est croissante sur [ 0 , 1 [ et positive. En faisant tendre y vers 1 dans cette inégalité et laissant fixe x , on obtient que x [ 0 , 1 [ , f ( 1 ) f ( x ) 1 x f ( 1 ) .

    3. Soit N un entier naturel non nul. Lorsque x [ 0 , 1 [ , tous les réels a n x n sont positifs, ce qui nous donne l'encadrement x [ 0 , 1 [ , N 1 , n = 1 N a n ( k = 0 n 1 x k ) n = 1 + a n ( k = 0 n 1 x k ) f ( 1 ) f ( x ) 1 x donc N 1 , x [ 0 , 1 [ , n = 1 N a n ( k = 0 n 1 x k ) f ( 1 ) f ( x ) 1 x . La somme n = 1 N a n ( k = 0 n 1 x k ) est un polynôme en x donc la fonction x n = 1 N a n ( k = 0 n 1 x k ) est continue en 1 et lim x 1 n = 1 N a n ( k = 0 n 1 x k ) = n = 1 N a n ( k = 0 n 1 1 k ) = n = 1 N a n ( k = 0 n 1 1 n  termes ) = n = 1 N n a n . D'autre part, on dispose de l'égalité lim x 1 f ( 1 ) f ( x ) 1 x = f ( 1 ) . En passant à la limite lorsque x tend vers 1 dans l'inégalité (majoration somme partielle en x), on obtient n = 1 N n a n f ( 1 ) , cette inégalité étant valable pour tout entier N non nul.
      La suite ( S N ) N 1 définie par S N = n = 1 N n a n est majorée par f ( 1 ) et croissante (car S N + 1 S N = ( N + 1 ) a N + 1 0 ) donc elle converge vers une limite L moindre que f ( 1 ) . Par définition de la convergence d'une série, la série n 0 n a n est convergente et n = 1 + n a n = L f ( 1 ) .

    4. Pour tout réel x appartenant à [ 0 , 1 [ et pour tout entier n non nul, on a la majoration a n ( k = 0 n 1 x k ) a n ( k = 0 n 1 1 k ) = a n ( k = 0 n 1 1 ) = n a n En sommant sur n × , on obtient la majoration n = 1 + a n ( k = 0 n 1 x k ) n = 1 + n a n et la question reecriture du taux accroissement et la majoration majoration somme des an montrent alors que x [ 0 , 1 [ , 0 f ( 1 ) f ( x ) 1 x n = 1 + n a n f ( 1 ) .

    5. La question preuve majoration somme partielle montre que la série n 1 n a n = n 1 n P ( X = n ) converge donc X admet une espérance. La question encadrement esperance montre que x [ 0 , 1 [ , 0 f ( 1 ) f ( x ) 1 x n = 1 + n P ( X = n ) f ( 1 ) . En faisant tendre x vers 1 , on obtient f ( 1 ) n = 1 + n P ( X = n ) f ( 1 ) n = 1 + n P ( X = n ) = f ( 1 ) , c'est-à-dire E ( X ) = f ( 1 ) .