CCIP 2004

Partie I : Un résultat utile

On considère une variable aléatoire X définie sur ( Ω , 𝒜 , P ) , prenant ses valeurs dans × et, pour tout entier naturel non nul n , on pose : a n = P ( [ X = n ] ).

    1. Justifier que la suite ( a n ) n 1 est une suite de nombres réels positifs ou nuls vérifiant n = 1 + a n = 1 .

    2. Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [ 0 , 1 ] , la série de terme général a n x n est convergente.

  1. On désigne par f la fonction définie sur l'intervalle [ 0 , 1 ] par : x [ 0 , 1 ] , f ( x ) = n = 1 + a n x n . On suppose que cette fonction est dérivable au point 1 ; elle vérifie donc : lim x 1 : x < 1 f ( 1 ) f ( x ) 1 x = f ( 1 )

    1. Établir pour tout nombre réel x de l'intervalle [ 0 , 1 [ l'égalité : f ( 1 ) f ( x ) 1 x = n = 1 + ( a n k = 0 n 1 x k ) .

    2. En déduire que la fonction x f ( 1 ) f ( x ) 1 x est croissante sur [ 0 , 1 [ et qu'elle vérifie pour tout nombre réel x de l'intervalle [ 0 , 1 [ les inégalités suivantes : 0 f ( 1 ) f ( x ) 1 x f ( 1 ) .

    3. Montrer que, pour tout entier naturel N non nul, on a : 0 n = 1 N n a n f ( 1 ) .
      En déduire que la série de terme général n a n est convergente.

    4. À l'aide des résultats des question a) et c), justifier pour tout nombre réel x de l'intervalle [ 0 , 1 [ , les inégalités suivantes : 0 f ( 1 ) f ( x ) 1 x n = 1 + n a n f ( 1 )

    5. Montrer que la variable aléatoire X admet une espérance donnée par : E ( X ) = f ( 1 )