Corrigé EDHEC 2003 par Pierre Veuillez

On note f la fonction définie, pour tout réel x strictement positif, par : f ( x ) = e 1 x x 2 .

    1. I n est impropre en + (car f continue sur ] 0 , + [ )

      n M e 1 x x 2 x = [ e 1 x ] x = n M = e 1 M + e 1 n e 1 n 1 quand M + donc I n converge et est égale à I n = e 1 n 1

    2. Or e x 1 x quand x + et comme 1 n 0 alors .

  1. On a e 1 n n 2 1 n 2 et comme la série des 1 n 2 converge (série de Rieman) alors, par réquivalence de séries à termes positifs, la série de terme général u n = f ( n ) est convergente.

    1. Pour encadrer l'intégrale, on encadre tout d'abord f et pour celà, on détermine son sens de variations :

      f est dérivable sur ] 0 , + [ et f ( x ) = 1 x 2 e 1 x x 2 2 x e 1 x x 4 = ( 1 + 2 x ) e 1 x x 4 < 0  sur  ] 0 , + [ donc pour 0 < k x k + 1 on a f ( k ) f ( x ) f ( k + 1 ) ( f ( k ) et f ( k + 1 ) constantes par rapport à x ) et l'inégalité de la moyenne donne alors comme k k + 1 : f ( k + 1 ) k k + 1 f ( x ) x f ( k ) .

    2. En sommant soigneusement cette dernière inégalité, montrer que :

      On somme alor sl'inégalité précédente de n à M : k = n M f ( k + 1 ) k = n M k k + 1 f ( x ) x k = n M f ( k )    réindexé h = k + 1 pour la première somme donc h = n + 1 M + 1 f ( h ) n M + 1 f ( x ) x k = n + 1 M f ( k ) + f ( n ) et par passage à la limiet dans les inégalités (les séries et l'intégerale convergent quand M + ) k = n + 1 + u k I n k = n + 1 + u k + e 1 n n 2

    3. On a alors le double encadrement : I n e 1 n n 2 k = n + 1 + u k I n et en divisant par I n > 0 : 1 e 1 n n 2 I n k = n + 1 + u k I n 1 par encadrement k = n + 1 + u k I n 1

      Conclusion :

      k = n + 1 + e 1 k k 2 I n 1 n quand n +