-
Pour encadrer l'intégrale, on encadre tout d'abord
f
et pour celà, on détermine son sens de variations :
f
est dérivable sur
]
0
,
+
∞
[
et
f
′
⁡
(
x
)
=
−
1
x
2
⁢
e
1
x
⁢
x
2
−
2
⁢
x
⁢
e
1
x
x
4
=
−
(
1
+
2
⁢
x
)
⁢
e
1
x
x
4
<
0
sur
]
0
,
+
∞
[
donc pour
0
<
k
≤
x
≤
k
+
1
on a
f
⁡
(
k
)
≥
f
⁡
(
x
)
≥
f
⁡
(
k
+
1
)
(
f
⁡
(
k
)
et
f
⁡
(
k
+
1
)
constantes par rapport à
x
)
et l'inégalité de la moyenne donne alors comme
k
≤
k
+
1
:
f
⁡
(
k
+
1
)
⩽
∫
k
k
+
1
f
⁡
(
x
)
⁢
ⅆ
x
⩽
f
⁡
(
k
)
.
-
En sommant soigneusement cette dernière inégalité, montrer que
:
On somme alor sl'inégalité précédente de
n
à
M
:
∑
k
=
n
M
f
⁡
(
k
+
1
)
⩽
∑
k
=
n
M
∫
k
k
+
1
f
⁡
(
x
)
⁢
ⅆ
x
⩽
∑
k
=
n
M
f
⁡
(
k
)
réindexé
h
=
k
+
1
pour la première somme donc
∑
h
=
n
+
1
M
+
1
f
⁡
(
h
)
⩽
∫
n
M
+
1
f
⁡
(
x
)
⁢
ⅆ
x
⩽
∑
k
=
n
+
1
M
f
⁡
(
k
)
+
f
⁡
(
n
)
et par passage à la limiet dans les inégalités (les séries
et l'intégerale convergent quand
M
→
+
∞
)
∑
k
=
n
+
1
+
∞
u
k
⩽
I
n
⩽
∑
k
=
n
+
1
+
∞
u
k
+
e
1
n
n
2
-
On a alors le double encadrement :
I
n
−
e
1
n
n
2
≤
∑
k
=
n
+
1
+
∞
u
k
⩽
I
n
et
en divisant par
I
n
>
0
:
1
−
e
1
n
n
2
⁢
I
n
≤
∑
k
=
n
+
1
+
∞
u
k
I
n
⩽
1
par
encadrement
∑
k
=
n
+
1
+
∞
u
k
I
n
→
1
Conclusion :
∑
k
=
n
+
1
+
∞
e
1
k
k
2
∼
I
n
∼
1
n
quand
n
→
+
∞