EDHEC 2003

On note f la fonction définie, pour tout réel x strictement positif, par : f ( x ) = e 1 x x 2 .

    1. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 , montrer que l'intégrale I n = n + f ( x ) x est convergente et exprimer I n en fonction de n .

    2. En déduire que .

  1. Montrer que la série de terme général u n = f ( n ) est convergente.

    1. Établir que : k * , f ( k + 1 ) k k + 1 f ( x ) x f ( k ) .

    2. En sommant soigneusement cette dernière inégalité, montrer que : n * , k = n + 1 + u k I n k = n + 1 + u k + e 1 n n 2

    3. Déduire des questions précédentes un équivalent simple, lorsque n est au voisinage de + , de k = n + 1 + e 1 k k 2 .

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