(
n
3
+
1
)
a
n
=
−
1
comme racine et peut donc se factoriser par
(
n
⁢
--
1
)
=
n
+
1
(
n
3
+
1
)
=
(
n
+
1
)
⁢
(
n
2
−
n
+
1
)
b
n
=
n
−
1
n
3
+
1
+
1
n
⁢
(
n
+
1
)
−
1
n
⁢
(
n
+
1
)
⁢
(
n
+
2
)
⁢
(
n
+
3
)
=
−
(
n
−
1
)
⁢
(
n
+
2
)
⁢
(
n
+
3
)
+
(
n
2
−
n
+
1
)
⁢
(
n
+
2
)
⁢
(
n
+
3
)
−
(
n
2
−
n
+
1
)
c
⁢
(
n
2
−
n
+
1
)
⁢
n
⁢
(
n
+
1
)
⁢
(
n
+
2
)
⁢
(
n
+
3
)
=
(
n
+
2
)
⁢
(
n
+
3
)
⁢
[
−
n
2
+
n
+
n
2
−
n
+
1
]
−
(
n
2
−
n
+
1
)
(
n
2
−
n
+
1
)
⁢
n
⁢
(
n
+
1
)
⁢
(
n
+
2
)
⁢
(
n
+
3
)
=
(
n
2
+
5
⁢
n
+
6
)
−
(
n
2
−
n
+
1
)
(
n
2
−
n
+
1
)
⁢
n
⁢
(
n
+
1
)
⁢
(
n
+
2
)
⁢
(
n
+
3
)
=
6
⁢
n
+
5
(
n
2
−
n
+
1
)
⁢
n
⁢
(
n
+
1
)
⁢
(
n
+
2
)
⁢
(
n
+
3
)
Conclusion :
b
n
=
6
⁢
n
+
5
(
n
2
−
n
+
1
)
⁢
n
⁢
(
n
+
1
)
⁢
(
n
+
2
)
⁢
(
n
+
3
)
Pour
n
≥
2
,
pour minorer l'intégrale, on minore le contenu :
sur
[
n
−
1
,
n
]
:
1
t
5
≥
1
n
5
car la fonction
t
→
1
t
5
est décroisante sur cet intevalle.
Et comme les bornes sont en ordre croissant :
∫
n
−
1
n
6
t
5
⁢
ⅆ
t
≥
∫
n
−
1
n
6
n
5
⁢
ⅆ
t
=
6
n
5
⁢
∫
n
−
1
n
ⅆ
t
≥
6
n
5
Pour la première inégalité, on factorise la différence :
6
n
5
−
b
n
=
6
n
5
−
6
⁢
n
+
5
(
n
2
−
n
+
1
)
⁢
n
⁢
(
n
+
1
)
⁢
(
n
+
2
)
⁢
(
n
+
3
)
=
6
⁢
(
n
2
−
n
+
1
)
⁢
(
n
+
1
)
⁢
(
n
+
2
)
⁢
(
n
+
3
)
−
n
4
⁢
(
6
⁢
n
+
5
)
(
n
2
−
n
+
1
)
⁢
n
5
⁢
(
n
+
1
)
⁢
(
n
+
2
)
⁢
(
n
+
3
)
on développe chaque partie :
(
n
2
−
n
+
1
)
⁢
(
n
+
1
)
⁢
(
n
+
2
)
⁢
(
n
+
3
)
=
(
n
2
−
n
+
1
)
⁢
(
n
+
1
)
⁢
(
n
2
+
5
⁢
n
+
6
)
=
(
n
2
−
n
+
1
)
⁢
(
n
3
+
6
⁢
n
2
+
11
⁢
n
+
6
)
=
n
5
+
5
⁢
n
4
+
6
⁢
n
3
+
n
2
+
5
⁢
n
+
6
n
4
⁢
(
6
⁢
n
+
5
)
=
6
⁢
n
5
+
5
⁢
n
4
d'où
6
n
5
−
b
n
=
25
⁢
n
4
+
36
⁢
n
3
+
6
⁢
n
2
+
30
⁢
n
+
36
(
n
2
−
n
+
1
)
⁢
n
5
⁢
(
n
+
1
)
⁢
(
n
+
2
)
⁢
(
n
+
3
)
>
0
et enfin le signe vient de la forme factorisée.
Conclusion :
∀
n
⩾
2
,
0
<
b
n
<
6
n
5
⩽
∫
n
−
1
n
6
t
5
⁢
ⅆ
t
On a comme précédemment
B
−
B
n
=
∑
k
=
n
+
1
+
∞
b
k
et
b
k
≤
∫
n
−
1
n
6
t
5
⁢
ⅆ
t
donc
∑
k
=
n
+
1
N
b
k
≤
∑
k
=
n
+
1
N
∫
k
−
1
k
6
t
5
⁢
ⅆ
t
=
∫
n
N
6
t
5
⁢
ⅆ
t
=
[
−
3
2
⁢
t
4
]
n
N
≤
−
3
2
⁢
N
4
+
3
2
⁢
n
4
et par passage àla limite dans l'inégalité, quand
N
→
+
∞
:
Conclusion :
0
≤
B
−
B
n
≤
3
2
⁢
n
4
Donc
B
n
est une valeur approchée de
B
à
3
2
⁢
n
4
près.
Et pour
n
≥
10
⁢
(
3
2
)
1
/
4
≃
11.1
,
on aura
0
≤
B
−
B
n
≤
3
2
⁢
n
4
≤
10
−
4
Conclusion :
pour
n
≥
12
,
B
n
est une valeur approchée de
B
à moins de
10
−
4
près
En calculant
17
18
−
∑
k
=
1
12
b
k
on a une valeur approchée de
A
à
10
−
4
près... en 1000 fois moins de calculs !