Corrigé ISC 1991 par Pierre Veuillez

Pour n × , on pose : a n = n 1 n 3 + 1 , A n = k = 1 n a k

  1. Pour n 2 , on factorise les différences : (on choisit le plus petit dénominateur commun) 1 n 1 1 n 1 n 2 = n 2 n ( n 1 ) ( n 1 ) n 2 ( n 1 ) = 1 n 2 ( n 1 ) > 0  car  n 2

    et 1 n 2 a n = n 3 + 1 ( n 1 ) n 2 n 2 ( n 3 + 1 ) = n 2 + 1 n 2 ( n 2 + 1 ) > 0 Conclusion :

    0 < a n < 1 n 2 < 1 n 1 1 n pour tout n 2

    Comme la série n 1 1 n 2 converge (REieman, avec 2 > 0 ), alors par majorations des termes positifs, la série k 1 a k converge également.

    On notera, dans la suite de cet exercice. A la limite de cette suite et on ne cherchera pas à calculer exactement A .

  2. On a A A n = k = 1 + a k k = 1 n a k = k = n + 1 + a k que l'on majore via a k 1 k 1 1 k pour k 2

    Sur la somme partielle et pour n 2 : k = n N a k k = n N 1 k 1 1 k = 1 n 1 1 N

    et par passage à la limite dans l'inégalité, quand N + :

    Conclusion :

    A A n 1 n 1

    Et comme la série est à termes positifs on a A A n

    d'où l'encadrement : 0 A A n 1 n 1 que l'on interprète en :

    A n est une valeur approchée de A à 1 n 1 près.

    Conclusion :

    pour n 10 4 + 1 , A n est une valeur approchée de A à 10 4 près.

  3. Pour accélérer la convergence, on pose : a n = 1 n ( n + 1 ) 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) b n

    1. ( n 3 + 1 ) a n = 1 comme racine et peut donc se factoriser par ( n -- 1 ) = n + 1

      ( n 3 + 1 ) = ( n + 1 ) ( n 2 n + 1 ) b n = n 1 n 3 + 1 + 1 n ( n + 1 ) 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) = ( n 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) + ( n 2 n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n 2 n + 1 ) c ( n 2 n + 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) = ( n + 2 ) ( n + 3 ) [ n 2 + n + n 2 n + 1 ] ( n 2 n + 1 ) ( n 2 n + 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) = ( n 2 + 5 n + 6 ) ( n 2 n + 1 ) ( n 2 n + 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) = 6 n + 5 ( n 2 n + 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) Conclusion :

      b n = 6 n + 5 ( n 2 n + 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )

      Pour n 2 , pour minorer l'intégrale, on minore le contenu :

      sur [ n 1 , n ] : 1 t 5 1 n 5 car la fonction t 1 t 5 est décroisante sur cet intevalle.

      Et comme les bornes sont en ordre croissant : n 1 n 6 t 5 t n 1 n 6 n 5 t = 6 n 5 n 1 n t 6 n 5 Pour la première inégalité, on factorise la différence :

      6 n 5 b n = 6 n 5 6 n + 5 ( n 2 n + 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) = 6 ( n 2 n + 1 ) ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) n 4 ( 6 n + 5 ) ( n 2 n + 1 ) n 5 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) on développe chaque partie :

      ( n 2 n + 1 ) ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) = ( n 2 n + 1 ) ( n + 1 ) ( n 2 + 5 n + 6 ) = ( n 2 n + 1 ) ( n 3 + 6 n 2 + 11 n + 6 ) = n 5 + 5 n 4 + 6 n 3 + n 2 + 5 n + 6 n 4 ( 6 n + 5 ) = 6 n 5 + 5 n 4

      d'où 6 n 5 b n = 25 n 4 + 36 n 3 + 6 n 2 + 30 n + 36 ( n 2 n + 1 ) n 5 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) > 0

      et enfin le signe vient de la forme factorisée.

      Conclusion :

      n 2 , 0 < b n < 6 n 5 n 1 n 6 t 5 t

    2. On réduit a umême dénominateur : 1 n 1 n + 1 = n + 1 n n ( n + 1 ) = 1 n ( n + 1 ) et 1 3 ( 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ) = 1 3 n + 3 n n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) = 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )

    3. On a b k = b n = a k 1 k ( k + 1 ) 1 k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 )

      donc B n = A n + k = 1 n 1 k ( k + 1 ) k = 0 n 1 k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) = A n + k = 1 n ( 1 k 1 k + 1 )  telescopiques 1 3 k = 1 n ( 1 k ( k + 1 ) ( k + 2 ) 1 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) ) = A n + 1 1 n + 1 1 3 ( 1 6 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ) A + 17 18  quand  n + Conclusion :

      la suite ( B n ) n × converge vers 17 18 A .

    4. On a comme précédemment B B n = k = n + 1 + b k et b k n 1 n 6 t 5 t donc k = n + 1 N b k k = n + 1 N k 1 k 6 t 5 t = n N 6 t 5 t = [ 3 2 t 4 ] n N 3 2 N 4 + 3 2 n 4 et par passage àla limite dans l'inégalité, quand N + :

      Conclusion :

      0 B B n 3 2 n 4

      Donc B n est une valeur approchée de B à 3 2 n 4 près.

      Et pour n 10 ( 3 2 ) 1 / 4 11.1 , on aura 0 B B n 3 2 n 4 10 4

      Conclusion :

      pour n 12 , B n est une valeur approchée de B à moins de 10 4 près

      En calculant 17 18 k = 1 12 b k on a une valeur approchée de A à 10 4 près... en 1000 fois moins de calculs !