ISC 1991

Pour n × , on pose : a n = n 1 n 3 + 1 , A n = k = 1 n a k

  1. Montrer que l'on a, pour n 2 : 0 < a n < 1 n 2 < 1 n 1 1 n . En déduire que la suite ( A n ) n × est convergente.
    On notera, dans la suite de cet exercice. A la limite de cette suite et on ne cherchera pas à calculer exactement A .

  2. Donner, en fonction de n , un majorant très simple de A A n .
    A partir de quelle valeur de n , peut-on affirmer que A n est une valeur approchée de A à moins de 10 4 près ?

  3. Pour accélérer la convergence, on pose : a n = 1 n ( n + 1 ) 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) b n

    1. Calculer b n en fonction de n et vérifier que l'on a : n 2 , 0 < b n < 6 n 5 n 1 n 6 t 5 t

    2. Vérifier que l'on a : 1 n ( n + 1 ) = 1 n 1 n + 1 ; 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) = 1 3 ( 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) )

    3. Pour n × , on pose B n = k = 1 n b k . Exprimer B n en fonction de n et de A n , en déduire que la suite ( B n ) n × est convergente.

    4. Soit B la limite de la suite ( B n ) . Montrer que : B B n 3 2 n 4 .
      A partir de quelle valeur de n peut-on affirmer que B n est une valeur approchée de B à moins de 10 4 près ?
      Conclure