Corrigé par Pierre Veuillez

  1. Etude de f .

    1. f est continue et strictment croissante ( f > 0 ) sur [ a , b ] donc f est bijective de [ a , b ] dans . [ f ( a ) , f ( b ) ]

      Comme f ( a ) < 0 < f ( b ) alors 0 [ f ( a ) , f ( b ) ] . Donc l'équation f ( x ) = 0 a une unique soution α sur [ a , b ] .

    2. Comme f est strictement croissante sur [ a , b ] et que f ( α ) = 0 , on a alors f < 0 sur [ a , α [ et ] α , b ]

  2. Construction géométrique.

    Soit A le point de la courbe représentative de f d'abscisse a .

    Pour u [ a , b ] , soit M le point de la courbe représentative de f d'abscisse u .

    1. La pente de la droite ( A M ) est f ( u ) f ( a ) u a . Donc un point N de coordonnées ( x , y ) est sur la droite si la doite ( A N ) a la même pente donc si : y f ( a ) x a = f ( u ) f ( a ) u a y = f ( u ) f ( a ) u a ( x a ) + f ( a )

    2. L'abscisse v du point d'intersection avec l'axe des abscisses est d'ordonnée nulle.

      Donc 0 = f ( u ) f ( a ) u a ( v a ) + f ( a ) f ( u ) f ( a ) u a ( v a ) = f ( a ) v a = f ( a ) u a f ( u ) f ( a ) v = a f ( a ) u f ( a ) + a ( f ( u ) f ( a ) ) f ( u ) f ( a ) = a f ( u ) u f ( a ) f ( u ) f ( a )

    On a donc v = a f ( u ) u f ( a ) f ( u ) f ( a )

  3. Etude de deux fonctions annexes.

    Soit g définie sur ] a , b ] par g ( x ) = a f ( x ) x f ( a ) f ( x ) f ( a ) (fonction qui défini v à partir de u )

    et h définie sur [ a , b ] par h ( x ) = f ( a ) 2 + ( x a ) f ( x ) f ( a ) f ( a ) f ( x ) .

    1. g est dérivable en tout x tel que f est dérivable en x et f ( x ) f ( a ) 0. Et d'après la question 1.a) celà est vrai sur ] a , b ] .

      Et g ( x ) = [ a f ( x ) f ( a ) ] [ f ( x ) f ( a ) ] f ( x ) [ a f ( x ) x f ( a ) ] ( f ( x ) f ( a ) ) 2

    2. h est dérivable sur [ a , b ] et h ( x ) = f ( x ) f ( a ) + ( x a ) f " ( x ) f " ( a ) f ( a ) f ( x ) = ( x a ) f " ( x ) f ( a )

      Et comme f " < 0 , f ( a ) < 0 et x a > 0 sur ] a , b ] , h est donc strictement croissante sur [ a , b ] .

    3. On a h ( a ) = f ( a ) 2 + ( a a ) f ( a ) f ( a ) f ( a ) f ( a ) = 0 . Et comme h est strictement croissante sur [ a , b ] , h est donc strictement positive sur ] a , b ] . On simplifie alors l'écriture de g : g ( x ) = a f ( x ) f ( x ) a f ( x ) f ( a ) f ( a ) f ( x ) + f ( a ) 2 a f ( x ) f ( x ) + x f ( x ) f ( a ) ( f ( x ) f ( a ) ) 2 = a f ( x ) f ( a ) f ( a ) f ( x ) + f ( a ) 2 + x f ( x ) f ( a ) ( f ( x ) f ( a ) ) 2 = h ( x ) ( f ( x ) f ( a ) ) 2

      g est donc du signe de h et g est strictement croissante sur [ a , b ]

    4. On calcule g ( x ) x : g ( x ) x = a f ( x ) x f ( a ) f ( x ) f ( a ) x = a f ( x ) x f ( a ) x f ( x ) + x f ( a ) f ( x ) f ( a ) = a f ( x ) x f ( x ) f ( x ) f ( a ) = ( a x ) f ( x ) f ( x ) f ( a ) Or sur ] α , b ] on a a x < 0 , f ( x ) > 0 et f ( x ) f ( a ) > 0 et donc g ( x ) x < 0.

      On remarque aussi que g ( α ) = α

  4. Etude de la suite.

    On définit la suite u par u 0 = b et pour tout n , u n + 1 = g ( u n ) . (ce sont les valeurs approchées obtenues par la méthode de Lagrange)

    1. Pour tout entier n , u n + 1 est défini si u n et g ( u n ) le sont donc si u n appartient à l'intervalle [ a , b ] .

      On démontre donc par récurrence que pour tout entier n , u n est défini et u n ] α , b ] :

      • Pour n = 0 , celà est le cas par définition.

      • Soit n 0 tel que u n est défini et u n ] α , b ] .

        Alors g ( u n ) est bien défini et donc u n + 1 l'est.

        De plus comme α < u n b , que g est strictement croissante sur [ a , b ] et que α , u n et b en sont éléments : g ( α ) < g ( u n ) g ( b ) . De plus sur ] α , b ] , g ( x ) < x et donc comme b en est élément, g ( b ) < b . D'où α < u n + 1 b

      • Donc pour tout entier n , u n est défini et u n ] α , b ] .

    2. La suite u est donc majorée et minorée. Reste à déterminer son sens de variations.

      Sur sur ] α , b ] , g ( x ) < x et donc comme u n en est élément, g ( u n ) < u n .

      La suite u est décroissante et minorée donc elle est convergente et sa limite appartient à l'intervalle [ α , b ] (l'inégalité u n ] α , b ] s'élargit par passage à la limite)

    3. Or f est continue sur cet intervalle (car elle y est dérivable) donc elle est continue en et f ( ) =

      Or la seule solution sur cet intervalle est = α . Donc u converge bien vers α