Pour déterminer une valeur approchée de la soution α de l'équation f ( x ) = 0 , la méthode de Lagrange utilise la stratégie suivante :

On part d'un point A de la courbe d'abscisse a et d'un point M d'abscisse u . On approche la courbe de f par sa corde ( A M ) . On approche alors α par l'abscisse v de l'intersection de la corde et l'axe des abscisses. Et on recommence avec le point d'abscisse v \dots

La méthode de Newton est similaire mais en considérant la tangente au lieu de la corde.

L'objectif de cet exercice est de montrer que la méthode de Lagrange permet, dans le cas particulier d'une fonction croissante et concave, de construire une suite convergent vers la solution de l'équation f ( x ) = 0 .

On considère une fonction f deux fois dérivable sur un intervalle [ a , b ] avec a < b et :

  1. Etude de f.

    1. Montrer que l'équation f ( x ) = 0 a une unique soution α sur [ a , b ] .

    2. Déterminer le signe de f sur [ a , b ]

  2. Construction géométrique.

    Soit A le point de la courbe représentative de f d'abscisse a .

    Pour u [ a , b ] , soit M le point de la courbe représentative de f d'abscisse u .

    1. Déterminer une équation de la droite ( A M )

    2. Déterminer l'abscisse v de l'intersection de ( A M ) et de l'axe des abscisses.

    On a donc v qui est l'abscisse définie dans l'introduction

  3. Etude de deux fonctions annexes.

    Soit g définie sur ] a , b ] par g ( x ) = a f ( x ) x f ( a ) f ( x ) f ( a ) (fonction qui défini v à partir de u )

    et h définie sur [ a , b ] par h ( x ) = f ( a ) 2 + ( x a ) f ( x ) f ( a ) f ( a ) f ( x ) .

    1. Montrer que g est dérivable sur ] a , b ] et calculer sa dérivée.

    2. Déterminer le sens de variation de h sur [ a , b ] .

    3. Calculer h ( a ) et en déduire le signe de h puis que g est strictement croissante sur ] a , b ] .

    4. Déterminer le signe de g ( x ) x sur ] a , b ] .

  4. Etude de la suite.

    On définit la suite u par u 0 = b et pour tout n , u n + 1 = g ( u n ) . (ce sont les valeurs approchées obtenues par la méthode de Lagrange)

    1. Montrer que pour tout entier n , u n est défini et u n ] α , b ] .

    2. Montrer que u est convergente. Dans quel intervalle se trouve sa limite?

    3. Montrer que la limite de u est α .