Corrigé par Pierre Veuillez

Etude de la suite définie par n , u n + 1 = ln ( u n ) + e 1 pour différentes valeurs de u 0 .

  1. On étudie dans cette partie le sens de variation de la fonction f définie par f ( x ) = ln ( x ) + e 1 et on compare f ( x ) et x .

    1. f est définie continue et dérivable sur ] 0 , + [ et y est strictment croissante.

      Soit g la fonction définie par g ( x ) = f ( x ) x .

    2. g est dérivable sur ] 0 , + [ et g ( x ) = 1 x 1 = 1 x x est dusigne de 1 x (affine). g ( e ) = l n ( e ) + e 1 e = 0

    3. En 0 + : ln ( x ) donc g tend vers .

      x 0 1 e
      1 x + 0
      g ( x )
      e 2
      g ( x ) 0

    4. g est (continue) dérivable et strictement croissante sur ] 0 , 1 [ . Elle est donc bijective de ] 0 , 1 [ dans ] lim 0 g , g ( 1 ) [ = ] , e 2 [ . Or 0 en est élément. Donc l'équation g ( x ) = 0 a une unique solution (que l'on notera α ) sur l'intervalle ] 0 , 1 [ .

      On a alors :

      x 0 α 1 e
      g ( x ) 0 + + 0
      f ( x ) < x = f ( x ) > x = f ( x ) < x
      donc f ( x ) = x x = α ou x = e ,

  2. On étudie ici la suite u dans le cas où u 0 > e .

    1. Par récurrence :

      • On sait que u 0 > e . (il est bien défini)

      • Soit n 0 tel que u n est défini u n > e . Est-ce que u n + 1 est défini et u n + 1 > e ?

        Or u n + 1 = f ( u n ) est défini car u n > 0 < et f ( u n ) > f ( e ) car f est strictement croissante sur ] 0 , + [ et que u n et e en sont éléments.

        donc u n + 1 > e

      • Donc, par récurrence, on a donc : pour tout entier n , u n est défini u n > e .

    2. Or pour tout x > e , on a f ( x ) < x donc f ( u n ) < u n et u n + 1 < u n .

      Donc u est décroissante et minorée par e . Elle est donc convergente.

    3. Soit sa limite.

      • On a e . Comme f est contiue sur ] 0 , + [ , et > 0 , f est continue en

      • On a donc f ( ) = et donc est une des deux solutions de f ( x ) = x à savoir = α ou = e .

      • Mais e > α donc α et = e

      Donc u n tend vers e quand n tend vers + .

  3. On étudie ici le cas où u 0 = 1

      • Pour n = 0 , est-ce que u 0 u 1 e ?

        Or u 0 = 0 et u 1 = f ( u 0 ) = e 1 > 0. Donc u 0 u 1 e

      • Soit n tel que u n u n + 1 e . Est-ce que que u n + 1 u n + 2 e ?

        Or f est strictement croissante sur ] 0 , + [ et u n , u n + 1 et e en sont éléments....

      en fait je ne le sait pas! On va donc le démontrer. Reprenons : On montre que pour tout entier n , 1 u n u n + 1 e

      • Pour n = 0 , est-ce que 1 u 0 u 1 e ?

        Or u 0 = 0 et u 1 = f ( u 0 ) = e 1 > 0. Donc 1 u 0 u 1 e

      • Soit n tel que 1 u n u n + 1 e . Est-ce que que 1 u n + 1 u n + 2 e ?

        Or f est strictement croissante sur ] 0 , + [ et 1 , u n , u n + 1 et e en sont éléments (par hypothèse de récurrence) donc f ( 1 ) f ( u n ) f ( u n + 1 ) f ( e ) et e 1 u n + 1 u n + 2 e et comme 1 e 1 on a gagné!

      • Donc pour tout entier n , 1 u n u n + 1 e

    1. La suite u est donc croissante et majorée par e . elle estdonc convergente; Soit sa limite.

      • Comme pour tout entier n , 1 u n e alors par passage à la lmite 1 e donc f est continue en .

      • Donc f ( ) = et = α ou = e . Mais comme 1 > α alors α et = e

      Donc u converge vers e .

  4. On étudie ici la suite u dans le cas où 0 < u 0 < α .

    On suppose que pour tout n , u n > 0 .

    1. On sait que pour x ] 0 , α [ , f ( x ) < x donc f ( u 0 ) < u 0 et u 1 < u 0 puis par récurrence :

      • Pour n = 0 est-ce que 0 < u 1 < u 0 < α ? or u 1 > 0 par hypothèse donc oui!

      • Soit n tel que 0 < u n + 1 < u n < α est-ce que 0 < u n + 2 < u n + 1 < α ?

        Or f est strictment croissante sur ] 0 , + [ et u n + 1 , u n et α en sont éléments (pas 0) donc f ( u n + 1 ) < f ( u n ) < f ( α ) et u n + 2 < u n + 1 < α . Et commen on a u n + 2 > 0 par hypothèse , on bien 0 < u n + 2 < u n + 1 < α .

      • Donc pour tout n , 0 < u n + 1 < u n < α .

    2. La suite u est décrouisante et minorée par 0 elle a donc une limite 0.

      Si > 0 alors f est continue en donc f ( ) = et = α ou = e .

      Mais comme u est décroissante, on a pour tout entier n , u n u 0 et par passage à la limite, u 0 < α < e donc α et e Ce qui est contradictoire.

      Donc n'est pas strictement positive

    3. Et comme 0 , on a donc = 0 .

      • On a alors u n + 1 n + 0

      • et comme u n + 1 = f ( u n ) et que f ( x ) x 0 alors f ( u n ) u n 0 donc

      • Donc = 0 ce qui est absurde.

      On n'a donc pas pour tout entier n , u n > 0

      Donc il existe un entier n pour lequel u n 0 et donc pour lequel u n + 1 = ln ( u n ) n'est plus défini...