Etude de la suite définie par n , u n + 1 = ln ( u n ) + e 1 pour différentes valeurs de u 0 .

  1. On étudie dans cette partie le sens de variation de la fonction f définie par f ( x ) = ln ( x ) + e 1 et on compare f ( x ) et x . Soit g la fonction définie par g ( x ) = f ( x ) x .

    1. Déterminer l'ensemble de définition de f , son sens de variation.

    2. Etudier le sens de variation de g et calculer g ( e ) .

    3. Déterminer la limite de g en 0 et dresser son tableau de variations.

    4. Montrer que l'équation g ( x ) = 0 a une unique solution (que l'on notera α ) sur l'intervalle ] 0 , 1 [ . Déterminer le signe de g .

  2. On étudie ici la suite u dans le cas où u 0 > e .

    1. Montrer que pour tout n , u n est bien défini et u n > e .

    2. En déduire que u est décroissante et convergente.

    3. Déterminer la limite de u n quand n tend vers + .

  3. On étudie ici le cas où u 0 = 1

    1. Montrer que pour tout entier n , u n u n + 1 e

    2. En déduire que u est convergente et déterminer sa limite.

  4. On étudie ici la suite u dans le cas où 0 < u 0 < α . ( α défini au 1.c)). On se propose de démontrer par l'absurde qu'à partir d'un certain rang, la suite u n'est plus définie.

    On suppose pour celà que pour tout n , u n > 0 .

    1. Montrer que u 1 < u 0 puis que pour tout n , 0 < u n + 1 < u n < α .

    2. Montrer que la limite de u ne peut pas être strictement positive.

    3. Montrer que = 0 et conclure à l'aide de la limite de f en 0.