Corrigé par Pierre Veuillez

Soit f définie par : f ( x ) = x . ln ( 1 + x ) pour x > 1 .

    1. f est dérivable sur [ 0 , + [ et f ( x ) = ln ( 1 + x ) + x 1 + x f est dérivable sur [ 0 , + [ et f " ( x ) = 1 1 + x + 1 + x x ( 1 + x ) 2 = 2 + x ( 1 + x ) 2

    2. x 0
      2 + x + affine
      ( 1 + x ) 2 2 ° degré
      f " ( x ) +
      f ( x )
      0 +

      f est donc strictement croissante sur [ 0 , + [ . Elle tend vers 0 en 0 et vers + en +

  1. On factorise f ( x ) x = x ( ln ( 1 + x ) 1 ) . on résout au brouillon ln ( 1 + x ) 1 = 0

    x 0 e 1
    ln ( 1 + x ) 1 0 +
    f ( x ) x 0 0 + 2 ° degré
    f " ( x ) f ( x ) = x f ( x ) < x f ( x ) = x f ( x ) > x

  2. Pour la courbe de f , il faut respecter la position par rapport à y = x et placer les tangentes en 0 : f ( 0 ) = 0 et en e 1 : f ( e 1 ) = 2 + 1 / e . Il faudra aussi (plus tard) étudier la branche infinie.

  3. On suppose dans cette question que u 0 ] e 1 , + [ .

    1. Par récurrence :

      • Pour passer d'une inégalité à la suivante il faudra savoir que u n 0. On démontre donc que 0 u n u n + 1

      • Pour n = 0 est-ce que 0 < u 0 u 1 ?

        Or e 1 < u 0 donc f ( u 0 ) > u 0 donc 0 < u 0 < u 1

      • Soit n tel que 0 < u n u n + 1 . Est-ce que 0 < u n + 1 u n + 2

        Or f est strictement croissante sur [ 0 , + [ et comme 0 < u n u , ils en sont éléments donc f ( 0 ) < f ( u n ) f ( u n + 1 ) donc 0 < u n + 1 u n + 2

      • Donc pour tout entier n , 0 < u n u n + 1

    2. La suite est croissante donc si elle est majorée elle est convergente. Soit sa limite. Comme pour tout entier n , u n > 0 alors 0.

      f est continue sur [ 0 , + [ donc elle est continue en et f ( ) = .

      Donc = 0 ou = e 1. Les deux solutions sont possible... Mais comme la suite u est croissante, on a pour tout entier n , u n u 0 et donc par paasage à la lmite, u 0 > e 1. Donc aucune des solutions n'est possible.

      Donc u ne peut pas être majorée.

    3. u est donc croissante et non majorée donc elle tend vers +

  4. On suppose dans cette question que u 0 ] 0 , e 1 [

    1. Par récurrence :

      • Pour n = 0 , estce que 0 < u 0 < e 1 ? Oui !

      • Soit n tel que 0 < u n < e 1. Est-ce que 0 < u n + 1 < e 1

        Or f est strictement croissante sur [ 0 , + [ et 0 , u n et e 1 en sont éléments. Donc f ( 0 ) < f ( u n ) < f ( e 1 ) et 0 < u n + 1 < e 1

      • Finalement, pour tout entier n , 0 < u n < e 1

    2. Or sur lk'intervalle ] 0 , e 1 [ , on a f ( x ) < x . Donc comme u n ] 0 , e 1 [ on a f ( u n ) < u n donc u n + 1 < u n . La suite u est donc décroissante et minorée donc convergente. Et sa limite vérifie 0 u 0 car pour tout entier n , 0 u n u 0 .

      Donc f est continue en et f ( ) = . DOnc = 0 ou = e 1. Mais comme u 0 < e 1 , on a e 1 et donc = 0.

      Donc u converge vers 0.