Soit f définie sur [ 0 , + [ par : f ( x ) = x . ln ( 1 + x )

On considère la suite ( u n ) n définie par u 0 et n , u n + 1 = f ( u n ) .

    1. Calculer pour tout x [ 0 , + [ , f ( x ) et f ( x ) .

    2. En déduire que f est strictement croissante sur [ 0 , + [ .

  1. Déterminer le signe de f ( x ) x selon la valeur de x .

  2. Tracer la courbe représentative de f

  3. On suppose dans cette question que u 0 ] e 1 , + [ .

    1. Montrer que pour tout n , u n u n + 1 .

    2. En déduire que si u est majorée alors u tend vers 0 ou e 1 .

    3. En déduire la limite de la suite u .

  4. On suppose dans cette question que u 0 ] 0 , e 1 [

    1. Montrer que pour tout entier n , 0 < u n < e 1

    2. En déduire que u est décroissante puis sa limite.