Corrig\e par Pierre Veuillez

  1. Soit f la fonction définie par: pour tout  x , f ( x ) = 3 x + 1 x et g la composée g = f o f définie par g ( x ) = f ( f ( x ) )

    1. f est dérivable qur * et f ( x ) = 3 x ( 3 x + 1 ) x 2 = 1 x 2 < 0 donc f est strictement décroissante sur ] 0 , + [ .

      g ( x ) = f ( f ( x ) ) définie et dérivable pour x 0 et f ( x ) = 3 x + 1 x 0 (i.e x 1 / 3 ) donc sur + *

      g ( x ) = 3 3 x + 1 x + 1 3 x + 1 x = 9 x + 3 + x x 3 x + 1 x = 10 x + 3 3 x + 1 g ( x ) = 10 ( 3 x + 1 ) 3 ( 10 x + 3 ) ( 3 x + 1 ) 2 = 1 ( 3 x + 1 ) 2 > 0

      Donc g est strictement croissante sur + *

    2. f ( x ) = x : Pour x 0 , f ( x ) = x 3 x + 1 x = x 3 x + 1 = x 2 x 2 3 x 1  2nd degré

      Δ = 9 + 4 = 13 donc l'équation a pour solutions: b = 3 13 2 et a = 3 + 13 2 .

      On a bien b < 0 < a et pour les fonctions polynômes du second degré α x 2 + β x + γ , le produit des racines est γ / α et leur somme est β / α . On a donc ici: a b = 1 donc b = 1 / a et a + b = 3 donc b = 3 a .

      On peut aussi le retrouver directement par le calcul: 1 a = 1 3 + 13 2 = 2 3 + 13 = 2 ( 3 13 ) ( 3 + 13 ) ( 3 13 ) = 2 ( 3 13 ) 9 13 = 2 ( 3 13 ) 4 = 3 13 2 = b 3 a = 3 3 + 13 2 = 6 3 13 2 = 3 13 2 = b

      g ( x ) = x : Pour x 0 et x 1 / 3 3 + 13 2 g ( x ) = x 10 x + 3 3 x + 1 = x 10 x + 3 = 3 x 2 + x 3 x 2 9 x 3 = 0 x 2 3 x 1 = 0 qui a donc bien les mêmes solutions que f ( x ) = x .

  2. Pour que f ( u n ) soit définit, il suffit que u n soit défini et non nul.

    Pour n = 0 est-ce que u 0 est défini et u .0 > 0 ? Ro u 0 = Oui!

    Soit n tel que u n est défini et u n > 0. Est ce que u n + 1 est défini et u n + 1 > 0 ?

    Or f ( u n ) est défini donc u n + 1 est bien défini.

    Et comme f ( x ) = 3 x + 1 x > 0 pour x > 0 , u n + 1 = f ( u n ) est défini.

  3. On suppose dans cette question que u 0 = 1 .

    On définit les suites v et w par v n = u 2 n et w n = u 2 n + 1 pour tout entier n .

    1. Pour tout entier n , v n + 1 = u 2 ( n + 1 ) = u 2 n + 2 = f ( u 2 n + 1 ) = f ( f ( u 2 n ) ) = g ( v n ) .

      w n = u 2 n + 1 = f ( u 2 n ) = f ( v n ) .

    2. Il faut donc démontrer que pour tout entier n , v n v n + 1 a . Mais pour pouvoir utiliser le sens de variation de g , il faut de plus 0 < v n . Donc on démontre que pour tout entier n , 0 < v n v n + 1 a .

      Pour n = 0 est-ce que 0 < v 0 v 1 a ?

      Or v 0 = u 0 = 1 et v 1 = g ( v 0 ) = g ( 1 ) = 10 + 3 3 + 1 = 13 / 4. Donc 0 < v 0 < v 1

      Et comme 3 + 13 2 > 3 2 > 1 = v 0 , que g est strictement croissante sur + * , et que a et 1 en sont éléments, a = g ( a ) > g ( 1 ) = v 1 . On a donc bien 0 < v 0 v 1 a .

      Soit n entier tel que 0 < v n v n + 1 a , alors comme g est strictement croissante sur + * et que v n , v n + 1 et a en sont éléments, g ( v n ) g ( v n + 1 ) g ( a ) et comme g ( x ) > 0 pour x > 0 , 0 < v n + 1 v n + 2 a .

      Donc, par récurrence, pour tout entier n , 0 < v n v n + 1 a . et v est croissante et majorée par a . Elle est donc convergente. Soit sa limite.

      PS: en fait, on savait déjà que pour tout entier n , u n > 0 donc v n = u 2 n > 0 , et il n'était pas utile de le redémontrer.

      Reste à prouver la convergence vers a : IL faut montrer que g est continue en , et donc que > 0.

      Si on utilise que pour tout entier n , u n > 0 alors, par passage à le limite, 0. Ce qui ne suffit pas.

      u est croissante et u 0 = 1 donc pour tout entier n , u 0 = 1 u n et par passage à la lmite, 1 .

      Comme g est continue sur + * , g est continue en donc g ( ) = .

      Donc est une solution de g ( x ) = x et comme 1 , b et = a . Donc v converge vers a .

    3. Comme w n = f ( v n ) , que f est continue en a , et que v n a alors w n = f ( v n ) f ( a ) = a

      Donc les termes pairs et impairs de u tendante vers la même limite a donc u tend vers a .

  4. On pose pour tout entier n , z n = u n a u n b

    1. Comme pour tout entier n , u n > 0 , alors u n b 0 et z n est bien définie.

      z n + 1 = u n + 1 a u n + 1 b = 3 u n + 1 u n a 3 u n + 1 u n b = 3 u n + 1 a u n 3 u n + 1 b u n = ( 3 a ) u n + 1 ( 3 b ) u n + 1 = b u n + 1 a u n + 1 = 1 a u n + 1 1 b u n + 1 = b a u n a u n b = b a z n donc z est une suite géométrique de raison b / a

    2. Donc pour tou entier n , z n = ( b / a ) n z 0 . z n = u n a u n b z n ( u n b ) = ( u n a ) u n ( z n 1 ) = b z n a u n = b z n a z n 1  car  z n = u n a u n b 1 La lmite dépend de | b / a | < 1 : b a = 3 13 3 + 13 < 0 Est-ce que b / a > 1 ? b a > 1 b > a a + b > 0 9 > 0

      Donc | b / a | < 1 et ( b / a ) n n + 0 et u n n + a