1. Soit f la fonction définie par: pour tout  x , f ( x ) = 3 x + 1 x et g la composée g = f o f définie par g ( x ) = f ( f ( x ) )

      Etudier les sens de variation sur + de f et de g .

    2. Résoudre sur l'équation de f ( x ) = x , puis g ( x ) = x .

      (On montrera qu'elles ont les mêmes solutions solutions a et b avec b < 0 < a , que b = 1 / a et que b = 3 a )

    Soit u la suite définie par: u 0 > 0 et pour tout entier n , u n + 1 = f ( u n ) .

  1. Montrer que, pour tout entier n , u n est défini et u n > 0

  2. On suppose dans cette question que u 0 = 1 .

    On définit les suites v et w par: pour tout entier n , v n = u 2 n et w n = u 2 n + 1 = f ( v n ) .

    1. Montrer que pour tout entier n , v n + 1 = g ( v n ) .

    2. Montrer que la suite v et croissante majorée par a . En déduire que v converge vers a .

    3. En déduire que w converge également vers a . Conclure pour u .

  3. On pose pour tout entier n , z n = u n a u n b ( les valeurs a et b étant celles définies précédemment avec b = 1 / a et que b = 3 a )

    On ne suppose plus que u 0 = 1 mais seulement que u 0 > 0 .

    1. Montrer que, pour tout entier n , z n est bien définie et que z est une suite géométrique.

    2. Déterminer la valeur de u n en fonction de z n . Déterminer sa limite quand n tend vers l'infini.