On considère la fonction définie par f ( x ) = ln ( e x 1 x )

On admettra que e x = 1 + x + x 2 2 + x 2 ϵ ( x )  avec  ϵ ( x ) x 0 0

    1. Déterminer l'ensemble de définition de f .

    2. Etudier le comportement de f en 0. (limite et tangente)

    3. Etudier les branches infinies de la courbe représentative de f .

    4. Soit h ( x ) = ( x 1 ) e x + 1. Déterminer le signe de h et en déduire le sens de variations de f .

    5. On pose g ( x ) = f ( x ) x . Montrer que g ( x ) = f ( x ) et en déduire son signe.

    6. Tracer la courbe représentative de f et la droite d'équation y = x

  1. On considère la suite u définie par u 0 = 1 et pour tout entier n , u n + 1 = f ( u n ) .

    1. Montrer que u est décroissante et minorée par 0.

    2. Montrer que sa limite ne peut pas être strictement positive. Déterminer sa limite.

(ESLCSCA 1993)