Corrig\e ESCL 93 par Pierre Veuillez

I. Etude de f.

    1. f est dérivable en tout x tel que x 2 + 1 > 0 donc sur . f ( x ) = x 2 + 1 ( x + 1 ) 2 x 2 x 2 + 1 x 2 + 1 2 = x 2 + 1 x ( x + 1 ) x 2 + 1 ( x 2 + 1 ) = x + 1 x 2 + 1 ( x 2 + 1 ) qui est du signe de x + 1 (affine). Donc f est croissante sur ] , 1 ] et décroissante sur [ 1 , + [ .

    2. f ( x ) = x + 1 x 2 + 1 1 = x ( 1 + 1 / x ) x 2 ( 1 + 1 / x 2 ) 1 = x ( 1 + 1 / x ) x 2 ( 1 + 1 / x 2 ) 1 = x ( 1 + 1 / x ) | x | ( 1 + 1 / x 2 ) 1 donc en + , f tend vers 0 et en , f tend vers -2.

  1. 1 x 2 + 1 = 1 2 x 2 + 1 2 1 + x 2 + 1 = 1 x 2 1 1 + x 2 + 1 = x 2 1 + x 2 + 1  du signe de  x 2 f ( x ) x = x + 1 x 2 + 1 1 x = x + 1 x 2 + 1 ( 1 + x ) = ( x + 1 ) ( 1 x 2 + 1 ) est donc du signe de x 2 ( x + 1 ) donc

    x -1 0
    x 2 0 2 0 degré
    x + 1 0 + + affine
    f ( x ) x + 0 0

  2. Il faut les asymptotes en - et + . Les points et tangentes en -1 , 0, 1

    x - -1 0 1 +
    f ( x ) + 1 / 2 + 1 + 0
    f ( x ) -2 -1 0 2 1 0
    f ( x ) x + 0 0

II. Etude d'une suite récurrente.


  1. Si u 0 = 1 on a alors pour tout entier n , u n = 1 et si u 0 = 0 alors pour tout entier n , u n = 0

  2. On suppose ici u 0 < 1 .

    1. n , u n < 1 : Pour n = 0 on a u 0 < 1.

      Soit n entier tel que u n < 1 alors u n et -1 appartiennent à ] , 1 ] et f y est croissante strictement donc f ( u n ) < f ( 1 ) et u n + 1 < 1.

      Donc, par récurrence, on a pour tout entier n , u n < 1.

    2. Or pout tout x de ] , 1 ] on a f ( x ) x donc comme pour tout entier n , u n ] , 1 ] , f ( u n ) u n et u n + 1 u n . Donc u est croissante.

    3. u est donc croissante et majorée par -1. Elle est donc convergente. Soit l sa limite. f est continue sur donc en l . Donc l est solution de l'équation f ( x ) = x et l = 1 ou l = 0.

      Mais comme u est majorée par -1, par passage à la limite on a: l 1. Donc l 0 et l = 1.

      Donc u converge vers -1.

  3. On suppose ici 1 < u 0 < 0 .

    1. Comme f est strictement croissante sur ] , 1 ] et que -1 et u 0 en sont éléments, f ( 1 ) < f ( u 0 ) et donc 1 < u 1 .

      Comme f ( x ) < x sur ] 1 , + [ et que u 0 > 1 , on a u 1 = f ( u 0 ) < u 0 .

      Donc pour n = 0 , on a 1 < u 1 < u 0 < 0. (la borne supérieure pour que l'on sache f croissante)

      Soit n tel que 1 < u n + 1 < u n < 0 . Ets-ce que 1 < u n + 2 < u n + 1 < 0 ?

      Comme f est strictement croisante sur ] , 1 ] et que 1 , u n + 1 , u n et 0 en sont éléments, f ( 1 ) < f ( u n + 1 ) < f ( u n ) < f ( 0 ) et 1 < u n + 2 < u n + 1 < 0 puis que ( u n ) n est décroissante et minorée par -1.

    2. Elle est donc convergente. Soit l sa limite. f est continue sur donc en l . Donc l est solution de l'équation f ( x ) = x et l = 1 ou l = 0.

      Mais comme u est décroissante, elle est majorée par u 0 . Et par passage à la limite on a: l u 0 < 0 Donc l 0 et l = 1.

      Donc u converge vers -1.

  4. On suppose ici u 0 > 0 . On a alors f ( u 0 ) = u 1 < f ( 1 ) < 1 donc on se retrouve dans la situtation précédente à partir du premier terme de cette suite.

(ESCL 93)