(ESCL 93)

Soit f la fonction définie par: f ( x ) = x + 1 x 2 + 1 1

I. Etude de f.

    1. Etudier le sens de variation de f . On montrera que f est croissante sur ] , 1 ] et décroissante sur [ 1 , + [ .

    2. Déterminer les limites de f en + et .Former le tableau de variations de f .

    1. Déterminer le signe de 1 x 2 + 1 suivant la valeur de x .

    2. En déduire que le signe de f ( x ) x est:

      x -1 0
      f ( x ) x + 0 0
      et que les solutions de l'équation f ( x ) = x sont -1 et 0.

  1. Tracer la courbe représentative de f et la droite d'équation y = x .

II. Etude d'une suite récurrente.


On considère la suite ( u n ) n définie par: u 0 et pour tout entier n , u n + 1 = f ( u n )

  1. Que dire de ( u n ) n si u 0 = 1 ou u 0 = 0 ?

  2. On suppose ici u 0 < 1 .

    1. Montrer que n , u n < 1

    2. En déduire que u est croissante.

    3. Montrer que ( u n ) n converge vers un réel que l'on déterminera.

  3. On suppose ici 1 < u 0 < 0 .

    1. Montrer que 1 < u 1 , que u 1 < u 0 , puis que ( u n ) n est décroissante et minorée par -1.

    2. En déduire qu'elle converge vers 1.

  4. On suppose ici u 0 > 0 .

    Sans en donner de démonstration, quel résultat obtiendrait-on concernant la convergence de ( u n ) n dans ce cas?

(ESCL 93)