Soit f la fonction définie par f ( x ) = ( x 1 ) ( e x + 1 ) 2

le but de ce probl\eme est d'\etudier des suites r\ecurentes v\erifiant la relation u n + 1 = f ( u n ) avec diff\erentes valeurs de u 0 .

  1. Etude du sens de variation de f .

    1. Soit g définie par g ( x ) = x e x + 1 . Etudier le sens de variation de g et en déduire son signe.

    2. Montrer que f est croissante sur .

  2. Etude du signe de la fonction k définie par k ( x ) = x e x 1 .

    1. Etudier le sens de variation de k et sa limite en .

    2. Montrer que l'équation k ( x ) = 0 a une unique solution que l'on notera γ et que 0 < γ < 1 .

    3. En déduire le signe de k ( x ) .

  3. Etude du signe de h ( x ) = f ( x ) x = e x ( x 1 ) ( x + 1 ) 2 .

    1. Déterminer le sens de variation de h , sa valeur en 0 et ses limites en + et .

      (On admettra que x e x x 0 et que x / e x x + 0 )

    2. En déduire que h s'annule en deux points que l'on notera α et β avec 2 < α < 0 < β < 2 .

    3. Montrer que pour α < x < β , on a f ( x ) < x , et que si x < α ou β < x , on a f ( x ) > x

  4. On suppose ici que u 0 < α

    1. Montrer que pour tout n entier, u n < α .

    2. En déduire que pour tout entier n , u n < u n + 1 .

    3. Montrer que u converge et que sa limite est α .

  5. On suppose ici que α < u 0 < β

    1. Montrer que α < u 1 < u 0 < β

    2. En déduire que pour tout entier n , α < u n + 1 < u n < β

    3. Montrer que u converge et que sa limite est α .

  6. On suppose ici que β < u 0

    1. Montrer que u est croissante.

    2. Montrer que si u est majorée alors elle converge vers α ou β .

    3. En déduire la limite de u .

  7. Questions subsidiaire: Montrer que β = α .