Corrigé ESLSCA ISC 1999 par Pierre Veuillez

A)

Etude de la suite u .

  1. Etude de f .

    1. f est définie et continue en x / x + 1 0 donc sur [ 1 , + [ et dérivable sur ] 1 , + [ f ( x ) = 1 2 1 + x 2 1 2 > 0 f est strictement croissante sur [ 1 , + [ .

      En 1 , f ( x ) 0 (elle y est continue) et f ( x ) + donc (théorème) l e taux d'accroissemùent de f tend également vers + et la courbe représentative de f a une tanfgente verticale en ce point.

      En + , f ( x ) + . On cherche sa direction asymptotique :

      f ( x ) x = 1 + x 2 x = x 1 + 1 / x 2 x = x 1 + 1 / x 2 x  car  x > 0  pour  x + = 1 + 1 / x 2 x 0 et on adonc une branche parabolique horizontale.

    2. Résoudre : il ne suffit pas de donner l'existence des solutions mais aussi leurs valeurs. f ( x ) > x 1 + x 2 > x

      On veut élever au carré, mais on abesoin pour celà que 1 + x / 2 et x soient de même signe :

      • si x < 0 tout x est solution (dans [ 1 + [ ) donc [ 1 , 0 [ est solution

      • si x 0 comme la fonction carré est strictement croissante sur [ 0 , + [ et que e t x en sont éléments, f ( x ) > x 1 + x 2 > x 2 2 x 2 x 1 < 0 exression polynôme du second degré qui a pour racines 1 et -1/2 qui a pour solutions avec x 0 : ] 1 / 2 , 1 [ + = [ 0 , 1 [

      • Les solutions de f ( x ) > x sont donc [ 1 , 1 [

      De même la seule solution de f ( x ) = x est x = 1

    3. Il faut placer pour la courbe représentative, la tangente en 1 , l'intersection en 1 (et de préférence avec sa tangente : f ( 1 ) = 1 / 4 )

      et respecter la branche infinie et la position par rapport à y = x

  2. Dans cette partie on suppose que u 0 = 0 .

    1. Pour montrer que u est bien définie, il faut montrer que l'on peut à chaque étape calculer le terme suivant et donc que u n 1. m a i s puisqu'on nous dit ensuite de montrer qu'elle est croissa,nte, on doit pouvoir montrer que u n u 0 = 0

      • Pour n = 0 , u 0 = 0 est bien défini.

      • Soit n 0 tel que u n est défini et u n 0. Est ce que u n + 1 est défini et u n + 1 0 ?

        Or u n + 1 0 donc ( u n + 1 ) / 2 = u n + 1 est bien défini. et u n + 1 0

      • Donc pour tout entier n , Soit n 0 tel que u n est défini et u n 0.

    2. On montre en deux temps.

      Pour tout entier n , u n 1 : Celà est vrai pour n = 0.

      Soit n 0 tel que u n 1 alors comme f est strictement croissante sur [ 1 , + [ et que u n 0 et 1 en sont éléments, f ( u n ) f ( 1 ) et donc u n + 1 1.

      Donc pour tout entier n , u n 1

      Comme f ( x ) x sur [ 1 , 1 ] et que u n en est élément, f ( u n ) u n et la suite u est donc croissante.

      Remarque : on aurait pu démontrer directement que pour tout entier n , 0 u n u n + 1 1

    3. La suite u est donc croissante et majhjorée, elle a donc une limite .

      Comme pour tout entier n , u n 0 alors par passage à la lmite dans l'inégalité, 0. f est alors continue en et f ( ) = .

      La seule solution est 1 donc = 1 et u tend vers 1.

  3. Dans cette partie on suppose que u 0 > 1 .

    1. On montre comme précédemment que pour tout entier n , u n est défini et u n 1.

    2. Comme f ( x ) x sur [ 1 , + [ et que u n en est élément, f ( u n ) u n et la suite u est donc croissante

    3. Comme eelle est décroissante et minorée par 1 elle converge vers une limite 1. DOnc f est continue en et f ( ) = .

      Comme la seule solution est = 1 , la suite converge donc vers 1.

B)

Calcul de u n en fonction de n quand u 0 > 1 .

On suppose désormais que u 0 > 1

  1. Etude de fonctions auxiliaires.

    On définit les fonctions ch et sh par c h ( x ) = e x + e x 2 et s h ( x ) = e x e x 2

    1. c h et s h sont dérivables sur et c h ( x ) = e x e x 2 = s h ( x )  et  s h ( x ) = c h ( x ) Comme exp > 0 , on a donc e x + e x 2 > 0 pour tout x réel et c h ( x ) > 0.

      s h ( 0 ) = ( e 0 e 0 ) / 2 = 0 et comme s h = c h > 0 la fonctio s h est strictement croissante sur .

      Donc s h > 0 sur ] 0 , + [ , s h < 0 sur ] , 0 [ et s h ( 0 ) = 0

    2. omme c h = s h , la fonction c h est donc strictement croissante sur [ 0 , + [ et continue.

      Elle est donc bijective de [ 0 , + [ dans [ c h ( 0 ) , lim + c h [ = [ 1 , + [ .

      Comme u 0 1 on a u 0 [ 1 , + [ .

      L'équation c h ( x ) = u 0 a donc une unique soution i.e. il existe un unique réel α 0 tel que c h ( α ) = u 0 .

    1. On calcule :

      2 [ c h ( x 2 ) ] 2 1 = 2 ( e x / 2 + e x / 2 2 ) 2 1 = 1 2 ( e x + 2 e x / 2 e x / 2 + e x ) 1 = 1 2 ( e x + e x ) = c h ( x )

    2. On démontre alors par récurrence que pour tout entier n , u n = c h ( α 2 n ) :

      • pour n = 0 , u 0 = c h ( α 2 0 )

      • Soit n tel que u n = c h ( α 2 n )

        Alors u n + 1 = u n + 1 2 = c h ( α 2 n ) + 1 2 = 2 ( c h ( α 2 n / 2 ) ) 2 2 = ( c h ( α 2 n + 1 ) ) 2 = | c h ( α 2 n + 1 ) | = + c h ( α 2 n + 1 ) car c h > 0.

      • Donc la proipritété est vraie pour tout entier n et on a une expression explicite de u n en fonction de n .

    1. On calcule : 2 [ s h ( x 2 ) ] 2 = 2 ( e x / 2 e x / 2 2 ) 2 = 1 2 ( e x 2 e x / 2 e x / 2 + e x ) = 1 2 ( e x e x ) 1 = c h ( x ) 1 Donc c h ( x ) 1 = 2 [ s h ( x 2 ) ] 2 .

      On a s h ( 0 ) = c h ( 0 ) = 1.

      Donc comme s h est dérivable en 0, s h ( x ) s h ( 0 ) x 0 ( x 0 ) s h ( 0 ) donc s h ( x ) x 0 x

    2. Finalement on calcule le quotient : c h ( x ) 1 x 2 / 2 = 2 [ s h ( x 2 ) ] 2 x 2 / 2 = [ s h ( x 2 ) x 2 ] 2 x 0 1 car s h ( x / 2 ) x / 2 0 x / 2 et donc c h ( x ) 1 x 0 x 2 / 2

    3. Or u n 1 = c h ( α 2 n + 1 ) 1 n + ( α 2 n + 1 ) 2 / 2 = α 2 2 2 n + 3 car α / 2 n + 1 0 quand n tend vers +

C)

Une autre suite :

  1. s h est continue et strictement croissante sur donc elle est bbijective de dans ] lim s h , lim + s h [ = . Or n donc l'équation s h ( x ) = n a une unique solution que l'on notera v n . Or pour tout entier n , s h ( v n ) = n 0 = s h ( 0 ) et comme s h est strictement croissante sur : v n 0.

  2. Montrer que pour tout x 0 ,

    1. On calcule la différence : s h ( x ) e x = ( e x + e x ) 0 CQFD

    2. quand x + , s h ( x ) / ( e x / 2 ) = 1 e 2 x 1 donc s h ( x ) e x / 2

  3. En déduire que

    1. On a alors pour tout entier n , en comparant les images par la fonciton s h : s h ( v n ) = n et s h ( ln ( n ) ) e ln ( n ) = n car ln ( n ) 0 donc s h ( ln ( n ) ) s h ( v n ) .

      Et comme s h est strictement croisasnte sur , on a ln ( n ) v n .

      Comme ln ( n ) + , on a par minoration : v n n + +

    2. Comme on sait que v n + , on a alors n = s h ( v n ) e v n / 2. D'où la limite du quotient : e v n / 2 n 1 et en prenant l'image par le ln qui est continue en 1 , ln ( e v n / 2 n ) = v n ln ( 2 ) ln ( n ) = ϵ ( n ) ln ( 1 ) = 0

      Donc v n = ln ( 2 ) + ln ( n ) + ϵ ( n )  avec  ϵ ( n ) 0

(d'après ESLSCA-ISC 99)