d'après ESLSCA-ISC 99

Soit f la fonction définie par f ( x ) = 1 + x 2 et ( u n ) n la suite définie par la donnée de u 0 et la relation de récurrence u n + 1 = f ( u n ) .

A)

Etude de la suite u .

  1. Etude de f .

    1. Etudier les variations de f et préciser la nature de sa branche infinie.

    2. Résoudre les équation f ( x ) = x et f ( x ) > x .

    3. Tracer la courbe représentative de f et la droite d'équation y = x .

  2. Dans cette partie on suppose que u 0 = 0 .

    1. Vérifier que u est bien définie.

    2. Montrer que la suite u est croissante et majorée par 1.

    3. Montrer que u est convergente et déterminer sa limite.

  3. Dans cette partie on suppose que u 0 > 1 .

    1. Vérifier que u est bien définie.

    2. Montrer que la suite u est monotone.

    3. Etudier la convergence de la suite u et déterminer sa limite.

B)

Calcul de u n en fonction de n quand u 0 > 1 .

On suppose désormais que u 0 > 1

  1. Etude de fonctions auxiliaires.

    On définit les fonctions c h et s h par c h ( x ) = e x + e x 2 et s h ( x ) = e x e x 2

    1. Exprimer la dérivées des fonctions c h et s h en fonction de c h et s h

      Montrer que pour tout réel x , c h ( x ) > 0 , calculer s h ( 0 ) et déterminer le signe de s h ( x ) .

    2. En déduire qu'il existe un unique réel α 0 tel que c h ( α ) = u 0 .

    1. Montrer que pour tout réel x , 2 [ c h ( x 2 ) ] 2 1 = c h ( x )

    2. En déduire que pour tout entier n , u n = c h ( α 2 n ) .

    1. Montrer que c h ( x ) 1 = 2 [ s h ( x 2 ) ] 2 . Calculer s h ( 0 ) .

      En déduire que s h ( x ) x 0 x puis que c h ( x ) 1 x 0 x 2 / 2

    2. En déduire un équivalent de ( u n 1 ) quand n tend vers + .


C)

Une autre suite :

  1. Montrer que pour tout entier n l'équation s h ( x ) = n a une unique solution que l'on notera v n que v n 0.

  2. Montrer que pour tout x 0 ,

    1. s h ( x ) e x et que

    2. quand x + , s h ( x ) e x / 2

  3. En déduire que

    1. pour tout entier n 1 , v n ln ( n ) , puis que v n n + +

    2. et qu'enfin v n = ln ( n ) + ln ( 2 ) + ϵ ( n ) avec ϵ ( n ) n + 0

(d'après ESLSCA-ISC 99)