( E S C 2000 )

  1. Soit f la fonction définie sur par: f ( x ) = x x 2 + x + 1

    On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

    1. Etudier les variations de f ainsi que ses limites en et +

    2. Calculer une équation de la tangente T à C à l'abscisse 0.

    3. Etudier les positions relatives de C et T . Préciser les points d'intersection.

    4. Construire C et T .

  2. On considère la suite ( u n ) n définie par: u 0 = 1  et pour tout entier  n ,  u n + 1 = f ( u n ) = u n u n 2 + u n + 1

    1. Soit p un entier naturel non nul. Montrer que: f ( 1 p ) 1 p + 1

    2. En déduire par récurrence que pour tout entier n , 0 < u n 1 n + 1

    3. Calculer lim n + u n

      La suite est à finir pour la rentrée 10/1/2001 (Dm n ° 5)

    4. En déduire par récurrence et à l'aide du 2.b) que pour tout entier n 1 , 1 u n n + 1 + k = 1 n 1 k

    1. Montrer que pour tout rérl x 2 , 1 x ln ( x ) ln ( x 1 )

    2. En déduire que: pour tout entier n , k = 2 n 1 k ln ( n )

      puis que: pour tout entier n 2 , 1 u n n + 2 + ln ( n )

    3. A l'aide des résultats précédents, calculer lim n + n u n .

(ESC 2000)